Calculadora
Introduce eventos y tamaños muestrales de dos grupos independientes para estimar el ratio \(p_1/p_2\).
Explicación
El ratio de proporciones compara dos proporciones independientes mediante un cociente. Si las proporciones representan riesgos o incidencias acumuladas, el mismo cálculo se interpreta como riesgo relativo (RR).
Por ejemplo, si se compara la aparición de un evento entre expuestos y no expuestos, la tabla 2x2 puede escribirse así:
| Grupo | Con evento | Sin evento | Proporción |
|---|---|---|---|
| Grupo 1 / expuestos | x₁ = 35 | n₁ − x₁ = 65 | p̂₁ = 35/100 = 0,35 |
| Grupo 2 / no expuestos | x₂ = 20 | n₂ − x₂ = 80 | p̂₂ = 20/100 = 0,20 |
La estimación puntual es el cociente entre ambas proporciones:
\( \widehat{RR} = \dfrac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2} = \dfrac{x_1/n_1}{x_2/n_2} \)
Un valor igual a 1 indica igualdad de proporciones. Valores mayores que 1 indican que la proporción del grupo 1 es mayor; valores menores que 1 indican que es menor.
Método logarítmico para el ratio de proporciones
Denotamos por \(C\) el nivel de confianza y por \(\alpha=1-C\) el área total fuera del intervalo. Para un 95 % de confianza, \(C=0{,}95\), \(\alpha=0{,}05\) y \(\alpha/2=0{,}025\) en cada cola.
El intervalo se construye en escala logarítmica porque el ratio solo puede tomar valores positivos y su distribución suele ser asimétrica. En la escala \(\log(RR)\), la aproximación normal es más estable para muestras moderadas o grandes.
Primero se calcula \(\widehat{RR} = (x_1/n_1)/(x_2/n_2)\). Después se estima el error estándar de \(\log(\widehat{RR})\) con:
\( SE\left[\log(\widehat{RR})\right] = \sqrt{\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{n_2}} \)
El intervalo bilateral en escala logarítmica es:
\( \log(\widehat{RR}) \pm z_{\alpha/2}\cdot SE\left[\log(\widehat{RR})\right] \)
Finalmente se aplica la exponencial a los dos límites. El resultado final queda en la escala original del ratio de proporciones y se interpreta comparándolo con el valor nulo 1.
Corrección para celdas cero
Si alguno de los grupos no tiene eventos, \(\log(\widehat{RR})\) no se puede calcular directamente. La opción de corrección 0,5 suma 0,5 a las cuatro celdas de la tabla 2x2 antes de calcular proporciones, ratio e intervalo.
Ejemplo resuelto
Con x₁ = 35, n₁ = 100, x₂ = 20 y n₂ = 100:
\( \widehat{RR} = \dfrac{35/100}{20/100} = 1{,}75 \)
Para un 95 % de confianza, \(C=0{,}95\), \(\alpha=0{,}05\), \(\alpha/2=0{,}025\) y \(z_{0{,}025} \approx 1{,}960\). El error estándar en escala logarítmica es:
\( SE = \sqrt{\dfrac{1}{35}-\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{20}-\dfrac{1}{100}} \approx 0{,}242 \)
Como \(\log(1{,}75) \approx 0{,}560\), el intervalo en escala logarítmica es:
\( 0{,}560 \pm 1{,}960\cdot0{,}242 \approx [0{,}085,\;1{,}034] \)
Al transformar con la exponencial:
\( IC_{95\%}(RR) = [e^{0{,}085},\;e^{1{,}034}] \approx [1{,}089,\;2{,}812] \)
Como el intervalo no incluye 1, la proporción del grupo 1 es significativamente mayor que la del grupo 2 al 95 % de confianza.
Supuestos para el ratio de proporciones
- Los dos grupos deben ser independientes y tener denominadores reales de riesgo o proporción.
- En cada grupo, las observaciones deben ser binarias e independientes.
- El método logarítmico necesita eventos positivos en ambos grupos; si algún grupo tiene 0 eventos, usa la corrección 0,5 e interpreta con cautela.
- La aproximación normal de \(\log(RR)\) funciona mejor con muestras moderadas o grandes y con recuentos no extremos.
¿En qué se diferencia del IC para odds ratio?
Aunque esta calculadora y la de IC para odds ratio usan una escala logarítmica y comparan el intervalo con el valor nulo 1, estiman medidas distintas.
| Medida | Qué compara | Fórmula en una tabla 2x2 | Uso típico |
|---|---|---|---|
| Ratio de proporciones / riesgo relativo (RR) | Probabilidades o proporciones del evento en dos grupos. | \( RR = \dfrac{x_1/n_1}{x_2/n_2} \) | Cohortes, ensayos, experimentos A/B o estudios con denominadores reales de riesgo. |
| Odds ratio (OR) | Odds del evento: casos con evento divididos entre casos sin evento. | \( OR = \dfrac{a/b}{c/d} = \dfrac{a\cdot d}{b\cdot c} \) | Estudios caso-control, regresión logística y análisis donde se modelan odds. |
Con los mismos datos del ejemplo (35 eventos y 65 no eventos en el grupo 1; 20 eventos y 80 no eventos en el grupo 2), esta herramienta calcula \(RR=(35/100)/(20/100)=1{,}75\). La herramienta de odds ratio calcularía \(OR=(35/65)/(20/80)\approx2{,}154\).
El RR responde a “cuántas veces mayor es la probabilidad del evento”. La OR responde a “cuántas veces mayores son las odds del evento”. Si el evento es raro, ambos valores suelen ser parecidos; si el evento es frecuente, la OR puede ser bastante mayor que el RR y no debe interpretarse como un riesgo relativo.
Cómo interpretar el resultado
El intervalo \([L, U]\) es el rango plausible del ratio de proporciones poblacional \(RR = p_1/p_2\) dado el nivel de confianza elegido. El valor nulo es 1, que indica igualdad de proporciones (\(p_1 = p_2\)). En términos frecuentistas: si repitieras el estudio muchas veces con los mismos tamaños muestrales y construyeras el IC con el mismo procedimiento, una proporción \(C\) de esos intervalos contendría el verdadero ratio. Al igual que con la odds ratio, el intervalo se construye simétricamente en escala logarítmica y luego se transforma con la exponencial; esto produce un IC asimétrico en la escala original (la distancia de \(\widehat{RR}\) a \(L\) no es igual a la distancia de \(\widehat{RR}\) a \(U\)).
La interpretación sigue tres casos. Si \(1 \in [L, U]\), los datos son compatibles con igualdad de proporciones al nivel de confianza elegido; el contraste \(H_0\!: p_1 = p_2\) no se rechazaría al nivel \(\alpha = 1 - C\). Si \(L > 1\), la proporción del grupo 1 es significativamente mayor. Si \(U < 1\), la proporción del grupo 1 es significativamente menor. En el gráfico se representa la distribución normal aproximada de \(\log(RR)\): la región verde es la zona de confianza y las colas rojas (área \(\alpha/2\) cada una) delimitan los valores críticos \(\pm z_{\alpha/2}\) en escala logarítmica.
- Escala multiplicativa: un \(RR = 1{,}75\) significa que la proporción del grupo 1 es un 75 % mayor que la del grupo 2, no 75 puntos porcentuales mayor. La diferencia entre escala aditiva (diferencia de proporciones) y multiplicativa (ratio) es importante para la comunicación de resultados.
- Diferencia con la odds ratio: el RR compara proporciones directamente. La OR compara odds. Con el mismo ejemplo (35/100 frente a 20/100), \(RR = 1{,}75\) pero \(OR \approx 2{,}15\). Si el evento es raro, ambos se aproximan; si el evento es frecuente, la OR puede ser mucho más extrema que el RR y no debe usarse para estimar riesgos relativos.
- Amplitud y recuentos: el error estándar de \(\log(RR)\) crece cuando los recuentos de eventos (\(x_1\), \(x_2\)) son pequeños. Con pocos eventos en algún grupo, el intervalo será muy ancho e impreciso; si algún grupo tiene 0 eventos, es obligatorio aplicar la corrección 0,5.
Preguntas frecuentes
- ¿Cuál es el valor nulo? En un ratio de proporciones, el valor nulo es 1.
- ¿Es lo mismo que diferencia de proporciones? No. La diferencia usa una escala aditiva \(p_1-p_2\); el ratio usa una escala multiplicativa \(p_1/p_2\).
- ¿Cuándo se interpreta como riesgo relativo? Cuando \(p_1\) y \(p_2\) representan riesgos, incidencias acumuladas o probabilidades del evento en un periodo definido.
Referencias usadas
- Katz, D., Baptista, J., Azen, S. P. y Pike, M. C. (1978). Obtaining confidence intervals for the risk ratio in cohort studies, Biometrics, 34, 469–474.
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis. Wiley.
- Rothman, K. J., Greenland, S. y Lash, T. L. (2008). Modern Epidemiology. Lippincott Williams & Wilkins.