Calculadora online de contraste de hipótesis para una media

Explicación

Este contraste se usa cuando quieres comprobar si la media poblacional es igual a un valor de referencia \(\mu_0\). Es uno de los procedimientos más utilizados en control de procesos, investigación biomédica, educación y analítica de negocio, porque permite contrastar una afirmación concreta con evidencia cuantitativa.

En la práctica hay dos escenarios: si conoces la desviación típica poblacional \(\sigma\), empleas un contraste z; si \(\sigma\) es desconocida y se estima con la desviación muestral \(s\), empleas un contraste t de Student. Esta distinción es importante porque refleja la incertidumbre adicional al estimar la variabilidad con la propia muestra.

Hipótesis y estadístico

\(H_0: \mu = \mu_0\)

\(H_1: \mu \neq \mu_0\), \(\mu > \mu_0\) o \(\mu < \mu_0\)

Si \(\sigma\) es conocida: \( z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \)

Si \(\sigma\) es desconocida: \( t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \), con \(gl=n-1\)

• \(\bar{x}\): media muestral.
• \(\mu_0\): media planteada en la hipótesis nula.
• \(\sigma\): desviación típica poblacional (si es conocida).
• \(s\): desviación estándar muestral (si \(\sigma\) es desconocida).
• \(n\): tamaño de la muestra.

Contraste rápido

• Si el p-valor es menor que \(\alpha\), se rechaza \(H_0\).
• Si el p-valor es mayor o igual que \(\alpha\), no hay evidencia suficiente para rechazar \(H_0\).
• Un resultado no significativo no demuestra que \(H_0\) sea verdadera.

¿Por qué hay dos fórmulas en este contraste?

Contraste z: se usa cuando \(\sigma\) poblacional es conocida. El estadístico sigue una normal estándar bajo \(H_0\).

Contraste t: se usa cuando \(\sigma\) es desconocida y se sustituye por \(s\). Esa incertidumbre extra se modela con la t de Student con \(n-1\) grados de libertad.

Cuando \(n\) crece, la t se parece mucho a la normal, por eso ambos métodos convergen con muestras grandes.

Ejemplo resuelto

Una fábrica afirma que su máquina produce piezas con un peso medio de \(\mu_0 = 500\) g. Para verificarlo, un inspector toma una muestra de \(n = 25\) piezas y obtiene \(\bar{x} = 497\) g y desviación típica muestral \(s = 8\) g. Se quiere contrastar si el peso medio difiere significativamente de 500 g con \(\alpha = 0{,}05\) (bilateral).

Las hipótesis son \(H_0\colon \mu = 500\) frente a \(H_1\colon \mu \neq 500\). Como \(\sigma\) es desconocida, se usa el estadístico t de Student con \(gl = n - 1 = 24\) grados de libertad:

\( t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} = \dfrac{497 - 500}{8/\sqrt{25}} = \dfrac{-3}{1{,}6} = -1{,}875 \)

Para un contraste bilateral con \(\alpha = 0{,}05\) y 24 grados de libertad, el valor crítico es \(t_{0{,}025,\,24} \approx 2{,}064\). Como \(|t| = 1{,}875 < 2{,}064\), el estadístico no cae en la región de rechazo.

El p-valor asociado al contraste bilateral es \(p \approx 0{,}073\). Dado que \(p = 0{,}073 > \alpha = 0{,}05\), no se rechaza \(H_0\).

Conclusión: con los datos disponibles no existe evidencia suficiente para afirmar que el peso medio se aleja de 500 g al nivel de significación del 5 %. La máquina podría estar calibrada correctamente.

Cómo interpretar el resultado

Rechazar \(H_0\) (p-valor < α) significa que, si la media poblacional fuera realmente \(\mu_0\), sería muy improbable haber observado un valor muestral tan alejado como el obtenido. Se concluye que hay evidencia estadística de que \(\mu \neq \mu_0\) (o > / <, según la alternativa elegida). No obstante, rechazar \(H_0\) no equivale a afirmar que la diferencia sea grande ni importante: con muestras muy grandes incluso una desviación de décimas puede resultar significativa.

No rechazar \(H_0\) (p-valor ≥ α) no prueba que la media sea igual a \(\mu_0\); solo indica que los datos son compatibles con ese valor al nivel de significación elegido. Una potencia baja —por muestra pequeña o varianza alta— puede impedir detectar diferencias reales. Antes de concluir «no hay efecto», revisa la potencia del contraste y el intervalo de confianza.

En cuanto al estadístico z o t que muestra la herramienta: su magnitud indica cuántas desviaciones típicas del error estándar se aleja \(\bar{x}\) de \(\mu_0\). En la visualización, la zona verde es la región de no rechazo, las zonas rojas son las regiones críticas y la línea ámbar señala el estadístico observado. Si la línea ámbar cae en rojo, p-valor < α. Para valorar la relevancia práctica, complementa siempre con el intervalo de confianza para \(\mu\) y con el tamaño del efecto (d de Cohen = \((\bar{x}-\mu_0)/s\)).

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo usar z y cuándo t? Usa z si conoces \(\sigma\) poblacional; usa t si \(\sigma\) es desconocida y la estimas con la muestra.
• ¿Qué representa el p-valor en este test de media? La probabilidad, bajo \(H_0\), de observar un resultado tan extremo como el obtenido.
• ¿Cuál es un α habitual? En muchos análisis se usa 0,05, aunque en contextos críticos puede preferirse 0,01.
• ¿Conviene reportar algo más? Sí: añade intervalo de confianza y tamaño de efecto para interpretar la relevancia práctica.
• ¿Qué es el tamaño mínimo detectable (MDE)? Es la diferencia mínima respecto a \(\mu_0\) que tu estudio está diseñado para detectar con una potencia concreta (por ejemplo, 80%) y un nivel de significación \(\alpha\) fijado. Si el efecto real es menor que el MDE, el contraste puede no detectarlo por falta de potencia.

Referencia: Prueba t de Student — Wikipedia