Explicación
La distribución t de Student es una distribución continua, simétrica alrededor de cero, similar a la normal estándar pero con colas más pesadas. Esto refleja la incertidumbre adicional que existe cuando la varianza poblacional es desconocida y se estima a partir de la muestra. El parámetro que la gobierna son los grados de libertad \( \nu \), que en el caso más habitual (una muestra de tamaño \( n \)) equivalen a \( n - 1 \). Cuantos más grados de libertad, más se aproxima la t a la normal estándar: a partir de \( \nu \approx 30 \) la diferencia práctica es mínima.
Se utiliza principalmente en tres contextos: (1) intervalos de confianza para una media cuando \( \sigma \) es desconocida; (2) pruebas de hipótesis sobre medias (prueba t de una muestra, de dos muestras independientes o de muestras pareadas); y (3) inferencia sobre coeficientes de regresión. Las colas pesadas hacen que los valores críticos de la t sean mayores que los de la normal para un mismo nivel de significación, lo que produce intervalos de confianza más anchos y decisiones más conservadoras cuando la muestra es pequeña.
Fórmula
$$ f(x)= \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{x^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2} $$
Parámetros
- ν (nu): grados de libertad de la distribución.
Ejemplo resuelto
Situación: Se mide el tiempo de reacción (en ms) de una muestra de \(n = 10\) conductores. Suponiendo que la varianza poblacional es desconocida, el estadístico de contraste sigue una \(t\) de Student con \(\nu = n - 1 = 9\) grados de libertad.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad acumulada \(P(T \leq 2{,}262)\) con \(\nu = 9\)?
Solución: Consultando la CDF de la \(t_{9}\) en \(t = 2{,}262\): \[ P(T \leq 2{,}262) \approx 0{,}975 \] Es decir, el 97,5 % de los valores de la distribución \(t_9\) se encuentran por debajo de 2,262. Equivalentemente, la cola derecha es \(P(T > 2{,}262) = 0{,}025\).
Pregunta 2: ¿Cuál es el valor crítico \(t^*\) para un contraste bilateral al nivel \(\alpha = 0{,}05\) con \(\nu = 9\)?
Solución: En un contraste bilateral al 5 % necesitamos el cuantil que deja \(\alpha/2 = 0{,}025\) en cada cola, es decir \(P(T \leq t^*) = 0{,}975\): \[ t^*_{0{,}025,\,9} = 2{,}262 \] Si el estadístico \(|t_{\text{obs}}| > 2{,}262\), rechazamos \(H_0\) al nivel del 5 %.
Interpretación: Con solo 9 grados de libertad las colas de la \(t\) son más pesadas que las de la normal estándar (donde el valor crítico bilateral al 5 % sería 1,96). A medida que \(\nu\) crece, la \(t_\nu\) converge a la normal estándar y los valores críticos se aproximan a \(\pm 1{,}96\).