Calculadora online de contraste de hipótesis para una proporción

Explicación

El contraste para una proporción se aplica cuando cada observación tiene dos resultados posibles (éxito/fracaso) y quieres evaluar si la proporción poblacional es \(p_0\). Es una prueba habitual en validación de campañas, calidad de producción, ensayos clínicos y estudios de opinión.

El método se apoya en la aproximación normal de la proporción muestral bajo \(H_0\), por lo que la calidad de la aproximación mejora con tamaños muestrales adecuados.

Hipótesis y estadístico

\(H_0: p = p_0\)

\( z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \)

• \(\hat{p}\): proporción muestral observada (éxitos / n).
• \(p_0\): proporción planteada en la hipótesis nula.
• \(n\): tamaño de la muestra.

Contraste rápido

Bajo \(H_0\), la variabilidad de \(\hat{p}\) viene dada por \(p_0(1-p_0)/n\). Por eso el denominador usa \(p_0\): estamos evaluando compatibilidad con la hipótesis nula concreta.

La aproximación normal es razonable cuando \(n p_0\) y \(n(1-p_0)\) son suficientemente grandes (regla práctica: al menos 5 o 10).

Ejemplo resuelto

Según estudios anteriores, el 65 % de los clientes de una empresa están satisfechos con el servicio (\(p_0 = 0{,}65\)). Tras una campaña de mejora, se encuesta a \(n = 120\) clientes y se obtiene que 85 manifiestan satisfacción, es decir, \(\hat{p} = 85/120 \approx 0{,}708\). ¿Ha cambiado significativamente la proporción? Se contrasta con \(\alpha = 0{,}05\) bilateral.

Las hipótesis son \(H_0\colon p = 0{,}65\) frente a \(H_1\colon p \neq 0{,}65\). El error estándar bajo la hipótesis nula es:

\( SE = \sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\dfrac{0{,}65 \cdot 0{,}35}{120}} = \sqrt{0{,}001896} \approx 0{,}04354 \)

El estadístico z vale:

\( z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{SE} = \dfrac{0{,}708 - 0{,}65}{0{,}04354} \approx 1{,}33 \)

Para un contraste bilateral con \(\alpha = 0{,}05\), el valor crítico es \(z_{0{,}025} \approx 1{,}96\). Como \(|z| = 1{,}33 < 1{,}96\), no se alcanza la región de rechazo. El p-valor bilateral es \(p \approx 0{,}183 > 0{,}05\).

Conclusión: no se rechaza \(H_0\). Con estos datos, la diferencia entre la proporción observada (70{,}8 %) y la de referencia (65 %) no es estadísticamente significativa al 5 %. La mejora podría deberse al azar muestral.

Cómo interpretar el resultado

Rechazar \(H_0\) (p-valor < α) significa que la proporción muestral \(\hat{p}\) se aleja de \(p_0\) más de lo esperable por azar. Se concluye que hay evidencia estadística de que la proporción poblacional es distinta de \(p_0\) (o mayor/menor, si el contraste es unilateral). Sin embargo, la significación no equivale a importancia: una diferencia de 1 punto porcentual puede ser muy significativa con \(n\) grande aunque sea irrelevante en la práctica. Accompaña siempre el resultado con el intervalo de confianza para \(p\) y una valoración del tamaño del cambio en el contexto del problema.

No rechazar \(H_0\) (p-valor ≥ α) no demuestra que \(p = p_0\); solo indica que los datos son compatibles con ese valor al nivel de significación elegido. Si la muestra es pequeña, la potencia puede ser insuficiente para detectar desviaciones reales. Un intervalo de confianza amplio que incluya valores alejados de \(p_0\) es señal de que el estudio no permite conclusiones definitivas.

El estadístico z que muestra la herramienta mide cuántos errores estándar se aleja \(\hat{p}\) de \(p_0\). En la visualización, la zona verde es la región de no rechazo, las zonas rojas son las regiones críticas y la línea ámbar representa el estadístico observado. Valores de \(|z|\) superiores al valor crítico (p. ej., 1,96 para α = 0,05 bilateral) llevan a rechazar \(H_0\). Verifica siempre que se cumplen las condiciones de validez de la aproximación normal: \(np_0 \geq 5\) y \(n(1-p_0) \geq 5\).

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo es válida la aproximación normal? Cuando el tamaño muestral permite esperar suficientes éxitos y fracasos bajo \(H_0\).
• ¿Puedo usar porcentaje en lugar de proporción? Sí, pero conviértelo a escala 0–1 para el cálculo.
• ¿Qué cola debo elegir? Bilateral si buscas cualquier diferencia; unilateral si solo te interesa aumento o disminución.
• ¿Significativo equivale a importante? No siempre; valora también el tamaño del cambio en términos de negocio o impacto real.
• ¿Aquí se distingue entre desviación muestral y poblacional? No de la misma forma que en medias. En proporciones el error estándar se construye con \(p_0\) (o con proporción combinada en dos proporciones), no con una \(\sigma\) introducida por el usuario.