Explicación
La distribución binomial describe cuántos éxitos ocurren en un número fijo \( n \) de ensayos independientes de tipo sí/no, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito \( p \). El conteo \( X \) solo puede tomar valores enteros entre 0 y \( n \). Su media es \( np \) y su varianza \( np(1-p) \); cuando \( np \geq 5 \) y \( n(1-p) \geq 5 \), la distribución binomial se aproxima bien a la normal con esos mismos parámetros. Para \( n \) grande y \( p \) muy pequeño (tal que \( np \) sea moderado), se aproxima a una Poisson con \( \lambda = np \).
Úsala cuando el número de ensayos sea fijo de antemano, los ensayos sean independientes, cada uno tenga solo dos resultados posibles y la probabilidad de éxito sea la misma en todos. Ejemplos típicos: unidades defectuosas en una muestra de control de calidad, conversiones en una campaña de marketing, pacientes que responden a un tratamiento en un ensayo clínico, o lanzamientos de una moneda. Si los ensayos no son independientes (muestreo sin reemplazo de una población pequeña), usa la distribución hipergeométrica en su lugar.
Fórmula
\( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \)
Parámetros
- n: número total de ensayos.
- p: probabilidad de éxito en cada ensayo.
- k: número de éxitos observados.
Ejemplo resuelto
Situación: En una línea de fabricación, cada pieza tiene una probabilidad de \(p = 0{,}3\) de presentar algún defecto menor. Se inspecciona un lote de \(n = 20\) piezas de forma independiente. Sea \(X\) el número de piezas defectuosas en el lote.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 piezas sean defectuosas, \(P(X = 4)\)?
Solución: Aplicamos la función de masa de probabilidad de la binomial: \[ P(X = 4) = \binom{20}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^{16} \] Calculamos cada factor: \(\binom{20}{4} = 4845\), \((0{,}3)^4 = 0{,}0081\), \((0{,}7)^{16} \approx 0{,}003323\): \[ P(X = 4) = 4845 \times 0{,}0081 \times 0{,}003323 \approx 0{,}1304 \] Hay aproximadamente un 13,04 % de probabilidad de encontrar exactamente 4 defectuosas.
Pregunta 2: ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 6 o menos piezas defectuosas, \(P(X \leq 6)\)?
Solución: Sumamos las probabilidades individuales \(P(X = 0) + P(X = 1) + \cdots + P(X = 6)\). La CDF de la binomial con \(n = 20\), \(p = 0{,}3\) en \(k = 6\) da: \[ P(X \leq 6) \approx 0{,}6080 \] Hay un 60,80 % de probabilidad de que el lote tenga a lo sumo 6 piezas defectuosas.
Interpretación: La media esperada de defectos es \(np = 20 \times 0{,}3 = 6\) piezas. Que \(P(X \leq 6) \approx 0{,}608\) confirma que el valor medio queda cerca del percentil 60, como es propio de una binomial con estos parámetros. Si el criterio de rechazo del lote fuera encontrar más de 6 defectos, habría aproximadamente un 39 % de probabilidad de rechazar el lote.