Calculadora de chi-cuadrado de independencia (tablas de contingencia)

Explicación

El contraste chi-cuadrado de independencia permite evaluar si existe asociación entre dos variables categóricas a partir de los recuentos observados en una tabla de contingencia. La pregunta que responde es: ¿los datos son compatibles con que ambas variables se distribuyen de forma independiente, o hay evidencia de que una variable influye en la otra?

Una tabla de contingencia (o tabla de doble entrada) cruza las categorías de dos variables: las \(r\) categorías de una variable se colocan en las filas y las \(c\) categorías de la otra en las columnas. Cada celda contiene el número de observaciones \(O_{ij}\) que pertenecen a la vez a la categoría \(i\) de la fila y a la categoría \(j\) de la columna, y los márgenes recogen los totales de cada fila, de cada columna y el total general \(n\).

La idea central es comparar lo que se ha observado con lo que se esperaría si las variables fueran realmente independientes. Si las diferencias entre frecuencias observadas y esperadas son demasiado grandes para atribuirlas al azar, se rechaza la hipótesis de independencia y se concluye que existe asociación.

Por ejemplo, una empresa quiere saber si la satisfacción de sus clientes (alta, media, baja) depende del canal de compra (tienda física, web, app). Recoge datos de una muestra y construye una tabla de contingencia 3 × 3. Si el contraste resulta significativo, hay evidencia de que el canal y la satisfacción están asociados; si no lo es, los datos son compatibles con que ambas variables son independientes.

El estadístico de contraste agrega las discrepancias de todas las celdas de la tabla y sigue una distribución chi-cuadrado bajo la hipótesis nula. Los grados de libertad dependen del tamaño de la tabla: \((r-1)(c-1)\), donde \(r\) es el número de filas y \(c\) el número de columnas.

Hipótesis y estadístico

\(H_0\): las variables son independientes

\(H_1\): existe asociación entre las variables

\(\chi^2 = \sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\),   con \(E_{ij} = \frac{n_{i\cdot} \cdot n_{\cdot j}}{n}\)

Contraste rápido

El estadístico chi-cuadrado suma, para cada celda de la tabla, el cuadrado de la diferencia entre frecuencia observada y esperada, dividido entre la frecuencia esperada. Bajo la hipótesis nula de independencia, este estadístico sigue aproximadamente una distribución \(\chi^2\) con \((r-1)(c-1)\) grados de libertad:

\(\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \sim \chi^2_{(r-1)(c-1)}\)

Las frecuencias esperadas se obtienen a partir de los totales marginales de la tabla. Para la celda de la fila \(i\) y la columna \(j\):

\(E_{ij} = \frac{n_{i\cdot} \cdot n_{\cdot j}}{n}\)

donde \(n_{i\cdot}\) es el total de la fila \(i\), \(n_{\cdot j}\) es el total de la columna \(j\) y \(n\) es el total general de la tabla. Se rechaza \(H_0\) cuando \(\chi^2 > \chi^2_{\alpha,\,(r-1)(c-1)}\) o, de forma equivalente, cuando el p-valor \(P\big(\chi^2_{(r-1)(c-1)} \geq \chi^2_{\text{obs}}\big)\) es menor que \(\alpha\).

Para localizar la asociación, la calculadora muestra los residuos estandarizados ajustados de cada celda, que bajo \(H_0\) siguen aproximadamente una normal estándar:

\(r_{ij} = \dfrac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}\left(1-\frac{n_{i\cdot}}{n}\right)\left(1-\frac{n_{\cdot j}}{n}\right)}}\)

La fuerza de la asociación se resume con la V de Cramér, que va de 0 (independencia) a 1 (asociación perfecta). En tablas 2×2 se puede aplicar además la corrección de continuidad de Yates:

\(V = \sqrt{\dfrac{\chi^2}{n\,(\min(r,c)-1)}}\),    \(\chi^2_{\text{Yates}} = \sum_{i,j}\dfrac{\big(|O_{ij}-E_{ij}|-0{,}5\big)^2}{E_{ij}}\)

Para que la aproximación chi-cuadrado sea fiable, conviene que la mayoría de las frecuencias esperadas sean mayores o iguales que 5. Si la tabla es 2×2 con frecuencias pequeñas, considera el test exacto de Fisher.

Ejemplo resuelto

Una empresa quiere saber si la satisfacción de sus clientes depende del canal por el que compran. Encuesta a 200 clientes y obtiene la siguiente tabla de contingencia 3 × 3 (es la tabla que carga por defecto la calculadora):

1. Frecuencias esperadas. Bajo independencia, \(E_{ij} = n_{i\cdot}\,n_{\cdot j}/n\). Por ejemplo, para tienda física y satisfacción alta: \(E_{11} = 65 \cdot 90 / 200 = 29{,}25\). Repitiendo el cálculo, las esperadas son 29,25; 16,25; 19,50 (tienda física), 33,75; 18,75; 22,50 (web) y 27,00; 15,00; 18,00 (app). Todas son mayores que 5, así que la aproximación chi-cuadrado es adecuada.

2. Estadístico. Se suman las nueve contribuciones \((O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}\):

\( \chi^2 = \dfrac{(40-29{,}25)^2}{29{,}25} + \dfrac{(10-16{,}25)^2}{16{,}25} + \cdots + \dfrac{(25-18)^2}{18} = 3{,}951 + 2{,}404 + 1{,}038 + 0{,}417 + 2{,}083 + 0{,}278 + 1{,}815 + 0 + 2{,}722 \approx 14{,}71 \)

3. Decisión. Los grados de libertad son \(gl = (3-1)(3-1) = 4\) y el valor crítico para \(\alpha = 0{,}05\) es \(\chi^2_{0{,}05;\,4} \approx 9{,}488\). Como \(14{,}71 > 9{,}488\), se rechaza \(H_0\); el p-valor es \(p \approx 0{,}0053\).

4. Tamaño del efecto. \(V = \sqrt{14{,}71 / (200 \cdot 2)} \approx 0{,}19\). Como \(\min(r,c)-1 = 2\), equivale a una \(w\) de Cohen de \(0{,}19\cdot\sqrt{2} \approx 0{,}27\): una asociación pequeña, cercana al umbral de 0,3 de un efecto mediano.

5. ¿Dónde está la asociación? Los residuos ajustados con \(|r_{ij}| > 1{,}96\) son: tienda física–alta \((+3{,}26)\), app–baja \((+2{,}36)\), web–media \((+2{,}11)\), tienda física–media \((-2{,}18)\) y app–alta \((-2{,}17)\). En tienda física el 61,5 % de los clientes está muy satisfecho, frente al 45 % global, mientras que en la app el 41,7 % declara satisfacción baja, frente al 30 % global.

Conclusión: se rechaza la independencia. La satisfacción depende del canal de compra: la tienda física concentra más clientes muy satisfechos y la app más clientes insatisfechos de lo que cabría esperar si ambas variables fueran independientes.

Supuestos y condiciones de aplicación

• Observaciones independientes: cada individuo aporta una sola observación y aparece en una única celda. Si los datos están emparejados (antes/después en los mismos sujetos), usa el test de McNemar.
• Recuentos, no porcentajes: las celdas deben contener frecuencias absolutas. Introducir porcentajes o medias invalida el estadístico, porque el contraste depende del tamaño muestral real.
• Categorías exhaustivas y mutuamente excluyentes en cada variable.
• Frecuencias esperadas suficientes (regla de Cochran): no más del 20 % de las celdas con \(E_{ij} < 5\) y ninguna con \(E_{ij} < 1\). La calculadora lo comprueba y avisa si no se cumple; en ese caso agrupa categorías poco frecuentes o, en tablas 2×2, usa el test exacto de Fisher.

Cómo interpretar el resultado

Rechazar \(H_0\) (p-valor < \(\alpha\)) significa que hay evidencia estadística de que las dos variables categóricas no son independientes, es decir, que la distribución de una cambia en función de la categoría de la otra. Sin embargo, el test chi-cuadrado no informa ni de la dirección ni de la magnitud de la asociación: solo detecta su existencia. Para cuantificar la fuerza, usa la V de Cramér \(V = \sqrt{\chi^2 / (n \cdot \min(r-1, c-1))}\), que varía entre 0 (independencia) y 1 (asociación perfecta). En tablas con dos filas o dos columnas, valores de \(V\) alrededor de 0,1, 0,3 y 0,5 se interpretan habitualmente como asociación pequeña, mediana y grande; en tablas mayores esos umbrales se dividen por \(\sqrt{\min(r,c)-1}\), que es lo mismo que comparar con 0,1, 0,3 y 0,5 la \(w\) de Cohen \(= V\sqrt{\min(r,c)-1}\). La calculadora clasifica el efecto con este criterio.

No rechazar \(H_0\) (p-valor ≥ \(\alpha\)) no demuestra independencia; solo indica que los datos son compatibles con ella al nivel elegido. Con tablas grandes o celdas con frecuencias esperadas pequeñas la potencia puede ser insuficiente; puedes planificar el tamaño necesario con la calculadora de tamaño muestral para chi-cuadrado de independencia.

Para saber dónde está la asociación, revisa los residuos estandarizados ajustados: las celdas resaltadas (\(|r_{ij}| > 1{,}96\)) tienen más casos de los esperados si el residuo es positivo y menos si es negativo. Como se examinan muchas celdas a la vez, en tablas grandes conviene ser más exigente (por ejemplo, \(|r_{ij}| > 3\) o un umbral corregido por Bonferroni). El gráfico de perfiles fila muestra lo mismo de forma visual: compara el reparto porcentual de cada fila con la barra «Total».

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo se usa el contraste chi-cuadrado de independencia? Cuando se quiere saber si dos variables categóricas están asociadas a partir de los recuentos de una tabla de contingencia (tabla de doble entrada) con \(r\) categorías en filas y \(c\) categorías en columnas.
• ¿Cómo introduzco la tabla de contingencia en la calculadora? Elige el número de categorías de filas y de columnas (de 2 a 8), escribe sus nombres en las cabeceras y el número de observaciones de cada celda. También puedes copiar un bloque de recuentos de una hoja de cálculo y pegarlo en cualquier celda: la tabla se amplía automáticamente.
• ¿Cuántos grados de libertad tiene el estadístico? Los grados de libertad son \((r-1)(c-1)\), donde \(r\) es el número de filas y \(c\) el número de columnas de la tabla. Una tabla 2×2 tiene 1 grado de libertad y una 3×4 tiene 6.
• ¿Qué condición deben cumplir las frecuencias esperadas? Según la regla de Cochran, la aproximación es adecuada cuando no más del 20 % de las celdas tienen una frecuencia esperada menor que 5 y ninguna es menor que 1. Si no se cumple, conviene agrupar categorías o, en tablas 2×2, usar el test exacto de Fisher.
• ¿Cuándo debo aplicar la corrección de Yates? Solo tiene sentido en tablas 2×2. Resta 0,5 a cada diferencia \(|O-E|\) para compensar que los recuentos son discretos y hace el contraste más conservador. Con muestras grandes apenas cambia el resultado; con muestras pequeñas es preferible el test exacto de Fisher.
• ¿Qué son los residuos estandarizados ajustados? Miden, celda a celda, cuánto se aleja el recuento observado del esperado en unidades de error típico. Bajo independencia siguen aproximadamente una normal estándar, así que valores con \(|r| > 1{,}96\) señalan las celdas donde se concentra la asociación: positivos si hay más casos de los esperados y negativos si hay menos.
• ¿Qué diferencia hay con el chi-cuadrado de bondad de ajuste? El de bondad de ajuste contrasta si una variable sigue una distribución teórica concreta. El de independencia contrasta si dos variables están asociadas entre sí, sin asumir ninguna distribución específica.
• ¿Puede haber asociación sin causalidad? Sí. El contraste detecta asociación estadística, pero no permite concluir que una variable causa la otra. La causalidad requiere diseño experimental o argumentación adicional.
• ¿Cómo afecta el tamaño muestral al resultado? Con muestras muy grandes, el contraste puede detectar asociaciones muy pequeñas que no son relevantes en la práctica. En esos casos conviene complementar el p-valor con una medida de tamaño del efecto como la V de Cramér.
• ¿Qué es el tamaño mínimo detectable (MDE) en chi-cuadrado de independencia? Es la asociación más pequeña entre variables (habitualmente expresada con V de Cramér) que el estudio puede detectar con la potencia y \(\alpha\) fijados. Con \(N\) pequeño solo se detectan asociaciones moderadas o grandes; para detectar asociaciones muy pequeñas se necesita aumentar el tamaño muestral.

Referencia: Prueba chi-cuadrado de independencia — Wikipedia