Explicación
La distribución chi-cuadrado con \( k \) grados de libertad surge al sumar los cuadrados de \( k \) variables normales estándar independientes: \( \chi^2_k = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_k^2 \). Solo toma valores positivos, su media es \( k \) y su varianza \( 2k \). Con pocos grados de libertad la distribución es muy asimétrica hacia la derecha; a medida que \( k \) crece se aproxima a una normal con media \( k \) y desviación estándar \( \sqrt{2k} \).
Se utiliza en tres contextos principales de inferencia estadística: (1) contrastes de bondad de ajuste, donde el estadístico mide cuánto difieren las frecuencias observadas de las esperadas bajo un modelo teórico; (2) contrastes de independencia en tablas de contingencia, evaluando si dos variables categóricas están asociadas; y (3) inferencia sobre varianzas, donde \( (n-1)S^2/\sigma^2 \) sigue una chi-cuadrado con \( n-1 \) grados de libertad y permite construir intervalos de confianza y contrastes para la varianza poblacional en muestras normales.
Fórmula
\( f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2},\quad x>0 \)
Parámetros
- k (grados de libertad): determina la forma y dispersión de la distribución.
- x: valor del estadístico chi-cuadrado observado.
Ejemplo resuelto
Situación: En una prueba de bondad de ajuste se calcula el estadístico \(\chi^2_{\text{obs}}\) a partir de frecuencias observadas y esperadas en 6 categorías, por lo que hay \(\nu = 6 - 1 = 5\) grados de libertad.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad acumulada \(P(\chi^2 \leq 11{,}07)\) con \(\nu = 5\)?
Solución: Consultando la CDF de la \(\chi^2_5\) en \(x = 11{,}07\): \[ P(\chi^2 \leq 11{,}07) \approx 0{,}95 \] Equivalentemente, la cola derecha es \(P(\chi^2 > 11{,}07) = 0{,}05\). Si el estadístico observado fuera exactamente 11,07, el p-valor sería del 5 %.
Pregunta 2: ¿Cuál es el valor crítico \(\chi^{2*}\) para el contraste al nivel \(\alpha = 0{,}05\) con \(\nu = 5\)?
Solución: Necesitamos el cuantil 0,95 de la \(\chi^2_5\), es decir el valor que deja el 5 % en la cola derecha: \[ \chi^{2*}_{0{,}05,\,5} = 11{,}07 \] Si \(\chi^2_{\text{obs}} > 11{,}07\), rechazamos \(H_0\) al nivel del 5 %.
Interpretación: Un estadístico \(\chi^2\) grande indica que las frecuencias observadas se alejan de las esperadas bajo \(H_0\). El umbral 11,07 marca la frontera: solo el 5 % de las muestras provenientes de la distribución hipotética producirían un estadístico mayor que ese valor por azar.