Simulador del teorema central del límite

Cómo se generan las muestras y cómo leer los gráficos

Cada vez que pulsas «Simular», el navegador ejecuta un experimento de Monte Carlo con los parámetros elegidos. Los números aleatorios se generan en tu propio dispositivo, así que cada clic produce una simulación distinta. El procedimiento es el siguiente:

1. Se extrae una muestra de \(n\) observaciones independientes de la distribución base elegida. Por ejemplo, con Exponencial (λ=1) y \(n = 30\), se generan 30 tiempos de espera aleatorios \(x_1, x_2, \ldots, x_{30}\).
2. Se calcula la media de esas \(n\) observaciones, \(\bar{x} = (x_1 + \cdots + x_n)/n\). Ese único número es una media muestral.
3. Se repiten los pasos 1 y 2 tantas veces como indique «Número de simulaciones». Con 1000 simulaciones se obtienen 1000 medias muestrales, lo que supone \(1000 \times n\) observaciones individuales en total. Esas 1000 medias son los datos del gráfico inferior y de la columna «Empírico».
4. Para el gráfico superior se genera además una muestra grande e independiente de observaciones individuales (hasta 50 000) de la misma distribución base. No son las observaciones usadas para calcular las medias, pero proceden de la misma distribución y sirven para mostrar su forma con claridad.

Gráfico superior: distribución original

Las barras son el histograma de las observaciones individuales. Su altura está en escala de densidad, es decir, la altura de cada barra es la proporción de observaciones que caen en ese intervalo dividida por la anchura del intervalo, de modo que el área total de las barras vale 1 y puede compararse directamente con una función de densidad. La línea roja es la densidad teórica \(f(x)\) de la distribución base: si las barras la siguen, la muestra es representativa de esa distribución. Para las distribuciones discretas (Bernoulli y Poisson) no se dibuja ninguna curva: las barras muestran la frecuencia relativa de cada valor entero y los huecos entre ellas son normales. El objetivo de este gráfico es ver de qué forma se parte: una campana (Normal), una meseta (Uniforme), una cola larga a la derecha (Exponencial, Chi-cuadrado) o dos únicos valores (Bernoulli). Cuanto menos se parezca a una campana, más llamativo resulta el gráfico inferior.

Gráfico inferior: distribución de la media muestral

Las barras son el histograma de las medias muestrales, una por simulación, también en escala de densidad: la altura de cada barra indica qué proporción de las simulaciones produjo una media dentro de ese intervalo. El número de intervalos crece con el número de simulaciones para que el histograma sea más fino cuando hay más datos. Sobre las barras se superponen dos curvas normales:

• Línea roja continua, normal teórica \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)\): es la distribución que el TCL predice para la media muestral. Se calcula con la media \(\mu\) y la varianza \(\sigma^2\) conocidas de la distribución base y el \(n\) elegido; no usa los datos simulados. Es la «predicción» que se pone a prueba.
• Línea verde discontinua, normal empírica: es la normal cuya media y desviación típica son las de las medias simuladas. Representa la mejor campana que puede ajustarse a los datos obtenidos.

Para interpretar este gráfico conviene fijarse en tres cosas:

• ¿Las barras siguen la curva roja? Si sí, la aproximación normal ya es buena para ese \(n\). Si las barras muestran una cola más larga a un lado que al otro mientras la curva es simétrica, la convergencia todavía no se ha alcanzado: aumenta \(n\) y observa cómo la asimetría desaparece.
• ¿Coinciden la curva roja y la verde? Casi siempre sí, incluso para \(n\) pequeño. Esto se debe a que la media de \(\bar{X}_n\) es exactamente \(\mu\) y su desviación típica exactamente \(\sigma/\sqrt{n}\) para cualquier \(n\); el TCL añade que, además, la forma se vuelve normal. Una pequeña separación entre ambas curvas es solo ruido de Monte Carlo y se reduce aumentando el número de simulaciones.
• ¿Qué anchura tiene el histograma? Compara la escala del eje horizontal con la del gráfico superior: la de las medias es mucho más estrecha, porque promediar reduce la dispersión en un factor \(\sqrt{n}\).

Con distribuciones discretas y \(n\) pequeño el histograma de las medias puede parecer un «peine» con huecos. No es un error: la media de \(n\) valores Bernoulli solo puede tomar los \(n + 1\) valores \(0, 1/n, 2/n, \ldots, 1\), y la de \(n\) valores Poisson solo múltiplos de \(1/n\). Al aumentar \(n\) los valores posibles se multiplican y el histograma se rellena.

Tabla teórico frente a empírico

La columna Teórico se calcula con fórmulas, sin usar los datos simulados: la media \(\mu\) de la distribución base, el error estándar \(\sigma/\sqrt{n}\), la varianza \(\sigma^2/n\) y la asimetría \(\gamma_1/\sqrt{n}\), donde \(\gamma_1\) es el coeficiente de asimetría de la distribución base. La columna Empírico se obtiene de las medias simuladas: su promedio, su desviación típica muestral, el cuadrado de esta y su coeficiente de asimetría. Media y desviación típica deberían coincidir con las teóricas para cualquier \(n\), salvo el ruido de simulación. La fila de asimetría es la que mide la convergencia a la normal: una normal tiene asimetría 0, así que cuanto más cerca de 0 esté este valor, más normal es la distribución de la media. Como la asimetría teórica se divide por \(\sqrt{n}\), se ve con claridad por qué las distribuciones muy asimétricas (Exponencial, Chi-cuadrado) necesitan un \(n\) mayor que las simétricas (Normal, Uniforme), cuya asimetría ya es 0 de partida.

Experimentos sugeridos

• Exponencial con n = 1, 2, 5, 30: la cola larga a la derecha se va encogiendo hasta formar una campana.
• Uniforme con n = 2: la meseta se convierte en un triángulo; con n = 5 ya es casi una campana.
• Bernoulli con n = 5 y n = 100: de un histograma de pocas barras separadas a una campana continua.
• Chi-cuadrado con n = 10 y n = 100: compara la fila de asimetría de la tabla en ambos casos.
• 100 frente a 10 000 simulaciones con el mismo n: la forma no cambia, solo el ruido del histograma.

¿Qué establece el teorema central del límite?

El teorema central del límite (TCL) es uno de los resultados fundamentales de la estadística matemática. Establece que, bajo condiciones generales, la distribución de la suma (o la media) de un gran número de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) tiende a la distribución normal, independientemente de la distribución original de las variables.

Formalmente, sean \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) variables aleatorias i.i.d. con media \(\mu\) y varianza finita \(\sigma^2 < \infty\). Entonces la media muestral \(\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\) satisface:

Equivalentemente, \(\bar{X}_n \approx \mathcal{N}\!\left(\mu,\, \frac{\sigma^2}{n}\right)\) para \(n\) suficientemente grande. La velocidad de convergencia depende de la asimetría (skewness) de la distribución original: cuanto más simétrica y «bien portada» sea la distribución, más rápido converge la media muestral a la normal. El teorema de Berry-Esseen cuantifica esta velocidad con una cota uniforme del error de aproximación:

donde \(\rho = \mathbb{E}[|X-\mu|^3]\) es el tercer momento absoluto centrado y \(C \approx 0.4748\). Esto implica que distribuciones con mayor asimetría requieren muestras más grandes para que la aproximación normal sea precisa.

¿Para qué tamaño n se cumple el TCL?

No existe un umbral único: la velocidad de convergencia depende de la distribución de origen. Como guía práctica:

• Distribuciones simétricas (Normal, Uniforme): con \(n = 2\) a \(5\) ya se obtiene una distribución de la media prácticamente normal. La Normal es, trivialmente, exacta para cualquier \(n\).
• Distribuciones moderadamente asimétricas (Exponencial, Poisson): la regla empírica habitual de \(n \geq 30\) suele ser suficiente. Con la exponencial (\(\text{coef. asimetría} = 2\)) ya con \(n = 30\) la aproximación es muy buena.
• Distribuciones discretas acotadas (Bernoulli): con probabilidades cercanas a 0 o 1 la asimetría es alta, pero al ser acotada la convergencia es relativamente rápida. Con \(n = 30\) la aproximación es excelente.
• Distribuciones de cola pesada (Chi-cuadrado con pocos grados de libertad): la asimetría es más pronunciada y puede requerirse \(n \geq 50\) para una aproximación satisfactoria.
• Distribuciones sin varianza finita (Cauchy): el TCL no se aplica en su forma estándar, pues la varianza no existe. En estos casos la ley de los grandes números tampoco converge.

La regla práctica \(n \geq 30\) que aparece en muchos libros de texto es una heurística conservadora válida para las distribuciones habituales en ciencias aplicadas. Sin embargo, para distribuciones muy sesgadas o con colas muy pesadas puede ser insuficiente.

Implicaciones prácticas del TCL

El TCL tiene consecuencias de largo alcance en la estadística aplicada:

• Justifica el uso de contrastes z y t: los test de medias (z-test, t-test) asumen que la media muestral sigue una distribución normal. Gracias al TCL, esto es válido incluso cuando los datos individuales no son normales, siempre que \(n\) sea suficientemente grande.
• Intervalos de confianza: la construcción de intervalos de confianza para la media poblacional se apoya directamente en el TCL, haciendo que \(\bar{X} \pm z_{\alpha/2}\,\sigma/\sqrt{n}\) sea una aproximación válida con independencia de la distribución original.
• Ubicuidad de la distribución normal: muchos fenómenos naturales y sociales son el resultado de la acumulación de muchos efectos independientes pequeños (errores de medida, variaciones genéticas, fluctuaciones económicas…), lo que explica por qué la distribución normal aparece con tanta frecuencia en la naturaleza.
• Extensión a sumas: dado que \(S_n = n\bar{X}_n\), el TCL se aplica igualmente a la suma de variables i.i.d.: \((S_n - n\mu)/(\sigma\sqrt{n}) \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)\). Esto es la base de la aproximación normal a la binomial.
• Diseño de experimentos y remuestreo: el TCL sustenta técnicas como el bootstrap y el análisis de potencia, al garantizar que los estadísticos basados en medias tienen distribuciones asintóticamente normales.

Preguntas frecuentes