Calculadora
Introduce la w de Cohen, el número de categorías k, el nivel de significación y la potencia deseada.
Asistente: calcular w desde proporciones observadas y teóricas
Introduce las proporciones bajo H1 (observadas esperadas) y bajo H0 (teóricas) separadas por comas. El número de valores debe ser igual a k.
Explicación
El test chi-cuadrado de bondad de ajuste contrasta si la distribución observada de una variable categórica se ajusta a una distribución teórica especificada \(H_0\). Con \(k\) categorías, el estadístico tiene \(df = k-1\) grados de libertad bajo \(H_0\) (asumiendo que los parámetros de la distribución teórica son conocidos).
Bajo la alternativa, el estadístico sigue una distribución chi-cuadrado no central con parámetro \(\lambda = N \cdot w^2\), donde \(N\) es el tamaño muestral y \(w\) es la \(w\) de Cohen.
Parámetro de no centralidad y potencia
\( \lambda = N \cdot w^2 \)
\( w = \sqrt{\sum_{i=1}^k \frac{(p_{\text{obs},i} - p_{\text{teo},i})^2}{p_{\text{teo},i}}} \)
\( \text{Potencia} = 1 - F_{\chi^2_{df,\,\lambda}}\!\left(\chi^2_{1-\alpha,\,df}\right) \quad \text{con } df = k-1 \)
La distribución chi-cuadrado no central se evalúa exactamente mediante la mezcla de Poisson de chi-cuadrados centrales:
\( F_{\chi^2_{df,\lambda}}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^k}{k!} \cdot F_{\chi^2_{df+2k}}(x) \)
Configuración rápida
- w: 0,1 (pequeño), 0,3 (mediano), 0,5 (grande) según Cohen. Usa el asistente si tienes las proporciones esperadas.
- k: número total de categorías. Los grados de libertad son df = k−1 (sin parámetros estimados).
- Frecuencias esperadas: comprueba que N/k ≥ 5 para que la aproximación chi-cuadrado sea válida.
- Parámetros estimados: si estimas p parámetros de los datos, resta p a df: df = k−1−p.
Ejemplo resuelto
Un biólogo quiere contrastar si el color de ciertos insectos (5 categorías: amarillo, rojo, verde, azul, negro) sigue una distribución uniforme (\(p_0 = 0{,}20\) para cada categoría). Basándose en datos previos, espera que la distribución real sea (0,30; 0,25; 0,20; 0,15; 0,10).
Con el asistente: \(w = \sqrt{(0{,}30-0{,}20)^2/0{,}20 + (0{,}25-0{,}20)^2/0{,}20 + 0 + (0{,}15-0{,}20)^2/0{,}20 + (0{,}10-0{,}20)^2/0{,}20} = \sqrt{0{,}05+0{,}0125+0+0{,}0125+0{,}05} = \sqrt{0{,}125} \approx 0{,}354\).
Con \(w = 0{,}354\), \(df = 4\), \(\alpha = 0{,}05\) y potencia del 80 %, se necesitan aproximadamente N = 69 insectos. Con esa muestra, el test detectará la desviación de la distribución uniforme el 80 % de las veces.
Verificación: N/k = 69/5 = 13,8 ≥ 5. La aproximación chi-cuadrado es adecuada.
Cómo interpretar el resultado
El valor \(N\) es el total de observaciones necesarias (suma de todas las categorías) para que el test chi-cuadrado de bondad de ajuste tenga la potencia y el nivel de significación especificados. Redondea siempre hacia arriba. Si prevés que algunos registros serán descartados por errores o valores faltantes, divide \(N\) entre \((1 - \text{tasa de pérdida})\) para obtener el número de recogida real. El número de observaciones esperadas en cada categoría \(i\) bajo \(H_0\) es \(N \times p_{0i}\); verifica que todas estas frecuencias esperadas sean \(\geq 5\) para que la aproximación chi-cuadrado sea válida.
El tamaño del efecto \(w\) de Cohen cuantifica cuánto se aleja la distribución real (\(p_{1i}\)) de la distribución teórica (\(p_{0i}\)): \(w = \sqrt{\sum_i (p_{1i} - p_{0i})^2 / p_{0i}}\). Un valor \(w = 0{,}10\) es pequeño, \(w = 0{,}30\) mediano y \(w = 0{,}50\) grande. La sensibilidad del \(N\) a \(w\) es cuadrática: si el efecto real es un 30 % menor de lo especificado, \(N\) aumenta aproximadamente un 100 \% \((1/0{,}7^2 \approx 2{,}04)\). Si alguna de las proporciones teóricas \(p_{0i}\) es muy pequeña, la categoría correspondiente puede tener muy pocas observaciones esperadas; en ese caso, fusiona categorías con sentido teórico hasta alcanzar frecuencias esperadas \(\geq 5\) y recalcula los grados de libertad del test.
Cuando el \(N\) calculado resulte inviable, las palancas son: (1) aceptar un \(w\) mayor (detectar solo efectos más grandes), (2) reducir la potencia, o (3) reducir el número de categorías fusionando las más pequeñas. Si alguna frecuencia esperada cae por debajo de 5 incluso con el \(N\) calculado, recurre a pruebas exactas multinomiales. Con los datos recogidos, realiza el contraste con la calculadora de chi-cuadrado de bondad de ajuste y compara los residuos estandarizados por categoría para identificar dónde se concentran las diferencias respecto a la distribución teórica.
Referencias
- Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2.ª ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3.ª ed.). Wiley.