Calculadora de tamaño muestral para chi-cuadrado de bondad de ajuste

Explicación

El test chi-cuadrado de bondad de ajuste responde a una pregunta sencilla: ¿la frecuencia con la que aparece cada categoría en mis datos es compatible con las proporciones que predice una distribución teórica? Esa distribución teórica es la hipótesis nula \(H_0\): asigna a cada una de las \(k\) categorías una proporción \(p_{0,i}\) (por ejemplo, \(0{,}20\) a cada uno de cinco colores si la hipótesis es que todos son igual de frecuentes). La hipótesis alternativa \(H_1\) dice simplemente que al menos una de esas proporciones es distinta.

Para contrastarlo, el test compara las frecuencias observadas \(O_i\) con las frecuencias esperadas bajo \(H_0\), que se obtienen repartiendo las \(N\) observaciones según las proporciones teóricas: \(E_i = N \cdot p_{0,i}\). La discrepancia se resume en un único número, el estadístico chi-cuadrado:

\( \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}, \qquad E_i = N \cdot p_{0,i} \)

Cada sumando mide cuánto se aleja una categoría de lo esperado: la diferencia se eleva al cuadrado para que las desviaciones por exceso y por defecto no se cancelen, y se divide entre \(E_i\) para que una diferencia de 10 observaciones pese más en una categoría donde se esperaban 20 que en otra donde se esperaban 200. Si \(H_0\) es cierta, las desviaciones se deben solo al azar del muestreo y el estadístico sigue aproximadamente (con frecuencias esperadas suficientemente grandes) una distribución chi-cuadrado con \(df = k - 1\) grados de libertad. Son \(k - 1\) y no \(k\) porque las frecuencias observadas suman siempre \(N\): conocidas \(k - 1\) de ellas, la última queda determinada. Si además hay que estimar \(p\) parámetros de la distribución teórica a partir de los datos, se pierde un grado de libertad por cada uno (\(df = k - 1 - p\)); lo tratamos más abajo.

La lógica del cálculo de potencia

Antes de recoger los datos no sabemos qué valor tomará \(\chi^2\), pero sí podemos razonar sobre los dos escenarios posibles:

• Si \(H_0\) es cierta, el estadístico sigue la chi-cuadrado central con \(df\) grados de libertad. Fijamos el nivel de significación \(\alpha\) y con él el valor crítico \(\chi^2_{1-\alpha,\,df}\): el punto que la chi-cuadrado central solo supera con probabilidad \(\alpha\). Rechazaremos \(H_0\) si el estadístico queda por encima. Con \(df = 4\) y \(\alpha = 0{,}05\), ese valor es \(9{,}49\).
• Si \(H_1\) es cierta (las proporciones reales son otras, \(p_{1,i}\)), las frecuencias observadas se alejan de forma sistemática de las esperadas bajo \(H_0\) y el estadístico tiende a ser mayor. La potencia es la probabilidad de que, en ese escenario, el estadístico supere el valor crítico y por tanto detectemos la desviación.

El valor crítico depende solo de \(\alpha\) y de \(df\); no cambia con el tamaño de la muestra. Lo que sí cambia con \(N\) es cuánto se desplaza el estadístico hacia la derecha cuando \(H_1\) es cierta. Para calcular la potencia necesitamos, por tanto, describir la distribución del estadístico bajo \(H_1\). Lo haremos en tres pasos: medir el tamaño de la desviación (\(w\)), traducirla a un desplazamiento de la distribución (\(\lambda\)) y calcular el área que queda a la derecha del valor crítico.

Paso 1: medir la desviación con la \(w\) de Cohen

Necesitamos un número que diga cuánto se alejan las proporciones reales \(p_{1,i}\) de las teóricas \(p_{0,i}\) y que no dependa del tamaño de la muestra. La \(w\) de Cohen se construye con la misma receta que el estadístico, pero sobre proporciones en lugar de frecuencias:

\( w = \sqrt{\sum_{i=1}^{k} \frac{(p_{1,i} - p_{0,i})^2}{p_{0,i}}} \)

En el asistente de la calculadora, \(p_{1,i}\) son las «proporciones H1» (\(p_{\text{obs}}\)) y \(p_{0,i}\) las «proporciones H0» (\(p_{\text{teo}}\)). La interpretación es directa: si una muestra de \(N\) observaciones reprodujera exactamente las proporciones \(p_{1,i}\), su estadístico chi-cuadrado frente a \(H_0\) valdría exactamente \(N \cdot w^2\). Por eso conviene pensar en \(w^2\) como el estadístico chi-cuadrado por observación: es una propiedad de las dos distribuciones que se comparan, no de la muestra. Cohen propuso como referencia \(w = 0{,}1\) (desviación pequeña), \(0{,}3\) (mediana) y \(0{,}5\) (grande), aunque siempre es preferible calcularla a partir de las proporciones que esperas realmente.

Paso 2: del efecto al desplazamiento, \(\lambda = N \cdot w^2\)

Cuando \(H_1\) es cierta, el estadístico ya no sigue la chi-cuadrado central. Sigue, de forma aproximada, una chi-cuadrado no central: la misma familia de distribuciones, pero desplazada hacia la derecha y más dispersa. El tamaño del desplazamiento lo controla el parámetro de no centralidad \(\lambda\), que en este test vale:

\( \lambda = N \cdot w^2 \qquad\text{y, en consecuencia,}\qquad E\!\left[\chi^2 \mid H_1\right] = df + \lambda \)

Una forma útil de verlo es descomponer el valor esperado del estadístico bajo \(H_1\), que es \(df + \lambda\). El término \(df\) es la parte «de ruido»: lo que el estadístico vale de media aunque \(H_0\) sea cierta, solo por el azar del muestreo. El término \(\lambda\) es la parte «de señal»: lo que aporta la desviación real. Y esa señal crece de forma proporcional a \(N\), porque con el doble de observaciones la distancia sistemática entre lo observado y lo esperado se duplica, mientras que el valor crítico sigue en el mismo sitio. Ese es exactamente el mecanismo por el que una muestra mayor da más potencia: la distribución bajo \(H_1\) se aleja del valor crítico y cada vez queda más área a su derecha.

De aquí sale también la regla práctica más importante: para una potencia dada, la \(\lambda\) necesaria es casi constante, así que \(N \approx \lambda / w^2\). El tamaño muestral es inversamente proporcional al cuadrado del efecto: detectar una desviación la mitad de grande requiere cuatro veces más observaciones.

Paso 3: la potencia como área a la derecha del valor crítico

\( \text{Potencia} = P\!\left(\chi^2 > \chi^2_{1-\alpha,\,df} \mid H_1\right) = 1 - F_{\chi^2_{df,\,\lambda}}\!\left(\chi^2_{1-\alpha,\,df}\right) \)

Leída de derecha a izquierda: \(F_{\chi^2_{df,\lambda}}\) es la función de distribución de la chi-cuadrado no central con \(df\) grados de libertad y no centralidad \(\lambda\). Evaluada en el valor crítico, da la probabilidad de que el estadístico no lo supere aunque \(H_1\) sea cierta, es decir, la probabilidad de error de tipo II, \(\beta\). La potencia es su complementario, \(1 - \beta\).

Cómo se calcula la chi-cuadrado no central

La chi-cuadrado no central no tiene una fórmula cerrada sencilla, pero sí una representación que la calculadora aprovecha: es una mezcla de chi-cuadrados centrales con pesos de Poisson. Imagina que primero se sortea un número entero \(J\) con distribución de Poisson de media \(\lambda/2\), y después se genera una chi-cuadrado central con \(df + 2J\) grados de libertad. La variable resultante es exactamente una chi-cuadrado no central con parámetros \(df\) y \(\lambda\). Su función de distribución es, por tanto, la media ponderada de funciones de distribución centrales:

\( F_{\chi^2_{df,\lambda}}(x) = \sum_{j=0}^{\infty} \underbrace{\frac{e^{-\lambda/2}(\lambda/2)^j}{j!}}_{\text{peso de Poisson}} \cdot \underbrace{F_{\chi^2_{df+2j}}(x)}_{\text{chi-cuadrado central}} \)

Cada sumando combina dos ingredientes conocidos: la probabilidad de Poisson de que \(J = j\) y la función de distribución de una chi-cuadrado central con \(df + 2j\) grados de libertad. Con \(\lambda = 12\) (el valor del ejemplo de más abajo), los pesos mayores corresponden a \(j = 5\) y \(j = 6\) (\(0{,}16\) cada uno), es decir, a chi-cuadrados centrales con 14 y 16 grados de libertad, que superan el valor crítico \(9{,}49\) con facilidad; los pesos se vuelven despreciables a partir de \(j \approx 20\). La calculadora suma términos hasta que el peso cae por debajo de \(10^{-14}\), lo que evalúa esa distribución con un error numérico despreciable y sin recurrir a aproximaciones normales. Eso no hace exacto el tamaño muestral: la propia chi-cuadrado no central es una aproximación asintótica al comportamiento del estadístico, de modo que el \(N\) obtenido es aproximado, sobre todo si alguna frecuencia esperada es pequeña.

Cómo encuentra la calculadora el tamaño muestral

No existe una fórmula que despeje \(N\) directamente, porque \(N\) aparece dentro de la distribución no central. La calculadora hace una búsqueda:

1. Obtiene el valor crítico \(\chi^2_{1-\alpha,\,df}\) a partir de \(\alpha\) y \(df = k - 1\).
2. Empieza con \(N = 2\), calcula \(\lambda = N \cdot w^2\) y, con la mezcla de Poisson, la potencia correspondiente.
3. Si la potencia no llega al objetivo, prueba con \(N + 1\) y repite.
4. Se detiene en el primer \(N\) cuya potencia iguala o supera el objetivo. Por eso el resultado es el mínimo \(N\) entero y la «potencia alcanzada» queda ligeramente por encima de la pedida.

La siguiente tabla, calculada con este mismo procedimiento para \(\alpha = 0{,}05\) y potencia \(0{,}80\), muestra las dos regularidades que conviene recordar: \(N\) se multiplica aproximadamente por cuatro cada vez que \(w\) se reduce a la mitad, y para un mismo \(w\) hacen falta más observaciones cuantos más grados de libertad tiene el test (el valor crítico es mayor y la distribución más dispersa).

Grados de libertad cuando se estiman parámetros

La calculadora usa \(df = k - 1\), lo que supone que la distribución teórica está completamente especificada de antemano. Si vas a estimar \(p\) parámetros a partir de los propios datos (por ejemplo, la media de una Poisson antes de comprobar si los recuentos son Poisson), el test tiene \(df = k - 1 - p\) grados de libertad. Para reflejarlo, introduce \(k - p\) en el campo «Número de categorías»: la \(w\) no cambia y los grados de libertad serán los correctos. Eso sí, la comprobación de la frecuencia mínima por celda hazla con el \(k\) real, dividiendo \(N\) entre el número verdadero de categorías.

Configuración rápida

• w: 0,1 (pequeño), 0,3 (mediano), 0,5 (grande) según Cohen. Si conoces las proporciones que esperas, usa el asistente: el valor calculado siempre es mejor que una referencia genérica.
• k: número total de categorías. Los grados de libertad son df = k − 1 (sin parámetros estimados).
• α: 0,05 es el estándar. Bajarlo a 0,01 sube el valor crítico y exige más observaciones.
• Potencia: 0,80 como mínimo habitual; 0,90 en estudios confirmatorios.
• Frecuencias esperadas: comprueba que \(N \cdot p_{0,i} \ge 5\) en todas las categorías (y, como mínimo, que \(N/k \ge 5\)) para que la aproximación chi-cuadrado sea válida.

Ejemplo resuelto paso a paso

Un biólogo quiere contrastar si el color de ciertos insectos (5 categorías: amarillo, rojo, verde, azul y negro) sigue una distribución uniforme, es decir, \(p_{0,i} = 0{,}20\) para cada color. Basándose en datos previos, cree que la distribución real es (0,30; 0,25; 0,20; 0,15; 0,10). Quiere \(\alpha = 0{,}05\) y una potencia del 80 %.

Paso 1: calcular \(w\). Se evalúa cada término de la suma y se toma la raíz cuadrada del total:

Por tanto \(w = \sqrt{0{,}125} \approx 0{,}354\), un efecto entre mediano y grande. Fíjate en que las dos categorías que más se desvían (amarillo y negro) aportan el 80 % de \(w^2\): es lo habitual, unas pocas categorías concentran casi toda la señal.

Paso 2: fijar el valor crítico. Con \(k = 5\) categorías, \(df = 4\). Para \(\alpha = 0{,}05\), el valor crítico es \(\chi^2_{0{,}95;\,4} = 9{,}49\): si \(H_0\) fuera cierta, solo un 5 % de las muestras darían un estadístico mayor.

Paso 3: buscar el \(N\) que sitúa la distribución bajo \(H_1\) suficientemente a la derecha. Para cada \(N\) candidato, \(\lambda = N \cdot 0{,}125\), y la potencia es el área de la chi-cuadrado no central que queda por encima de \(9{,}49\):

Con 30 insectos, la media del estadístico bajo \(H_1\) (7,75) ni siquiera alcanza el valor crítico, y la desviación solo se detectaría el 30 % de las veces. Con 95 la potencia se queda en el 79,78 %, un pelo por debajo del objetivo, y con 96 lo supera. La calculadora devuelve por tanto N = 96 insectos (potencia alcanzada: 80,25 %). Puedes reproducirlo introduciendo las dos listas de proporciones en el asistente, pulsando «Calcular w y actualizar» y después «Calcular tamaño muestral».

Comprobación: \(N/k = 96/5 = 19{,}2 \ge 5\), así que las frecuencias esperadas por celda (todas iguales a 19,2 bajo \(H_0\)) son suficientes para la aproximación chi-cuadrado.

Variantes: si el biólogo quisiera una potencia del 90 %, necesitaría \(N = 124\); si mantuviera el 80 % pero bajara \(\alpha\) a \(0{,}01\) (valor crítico \(13{,}28\)), necesitaría \(N = 134\). En ambos casos la exigencia sube, y \(\lambda\), y con ella \(N\), tienen que crecer para compensar.

Supuestos del modelo

• Muestra aleatoria de observaciones independientes.
• Variable categórica con \(k\) categorías mutuamente excluyentes y exhaustivas.
• Frecuencias esperadas suficientemente grandes (regla habitual: \(E_i \ge 5\)) para que la distribución chi-cuadrado sea una buena aproximación.
• Las proporciones bajo \(H_1\) con las que calculas \(w\) son una hipótesis de trabajo: si el efecto verdadero es más pequeño, la potencia real será menor que la planificada.
• El tamaño del efecto se expresa con la \(w\) de Cohen y la potencia se calcula con la distribución chi-cuadrado no central.

Cómo interpretar el resultado

El valor \(N\) es el total de observaciones necesarias (suma de todas las categorías) para que el test chi-cuadrado de bondad de ajuste tenga la potencia y el nivel de significación especificados. Redondea siempre hacia arriba. Si prevés que algunos registros se descartarán por errores o valores faltantes, divide \(N\) entre \((1 - \text{tasa de pérdida})\) para obtener el número que realmente debes recoger.

Comprueba las frecuencias esperadas: el número de observaciones esperadas en cada categoría \(i\) bajo \(H_0\) es \(N \cdot p_{0,i}\), y todas deberían ser \(\ge 5\). Si alguna proporción teórica es muy pequeña, esa categoría puede quedarse corta aunque \(N/k\) sea holgado; en ese caso, fusiona categorías con sentido teórico hasta alcanzar frecuencias esperadas \(\ge 5\) y recalcula \(k\), \(w\) y los grados de libertad.

Ten presente que la sensibilidad de \(N\) a \(w\) es cuadrática: si el efecto real es un 30 % menor de lo que has supuesto, \(N\) debería ser aproximadamente el doble \((1/0{,}7^2 \approx 2{,}04)\). Por eso conviene calcular \(w\) con proporciones realistas y, si hay incertidumbre, planificar con un valor algo conservador.

Cuando el \(N\) calculado resulte inviable, las palancas son tres: (1) aceptar un \(w\) mayor, es decir, conformarse con detectar solo desviaciones más grandes; (2) reducir la potencia objetivo; o (3) reducir el número de categorías fusionando las más pequeñas, lo que baja \(df\) y la \(\lambda\) necesaria (recalcula \(w\), porque también cambia). Si alguna frecuencia esperada sigue por debajo de 5 incluso con el \(N\) calculado, recurre a un test exacto multinomial. Con los datos recogidos, realiza el contraste con la calculadora de chi-cuadrado de bondad de ajuste y examina los residuos estandarizados por categoría para localizar dónde se concentran las diferencias respecto a la distribución teórica.

Referencias

• Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2.ª ed.). Lawrence Erlbaum Associates.
• Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3.ª ed.). Wiley.