Calculadora de tamaño muestral para contraste de una proporción

Explicación

Esta calculadora estima el tamaño muestral para contrastar una proporción con hipótesis nula \(H_0: p=p_0\), nivel de significación \(\alpha\), potencia \(1-\beta\) y diferencia mínima detectable \(\Delta=|p_1-p_0|\).

Permite alternativas bilateral (\(H_a: p\neq p_0\)) o unilateral (\(H_a: p\geq p_0\), \(H_a: p\leq p_0\)).

Fórmula de tamaño muestral

\( n=\left(\frac{Z_{\alpha^*}\sqrt{p_0(1-p_0)} + Z_{\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2 \)

• \(\alpha^*\): \(\alpha/2\) en bilateral y \(\alpha\) en unilateral.
• \(p_0\): proporción bajo hipótesis nula.
• \(p_1\): proporción bajo alternativa (según \(\Delta\) y dirección).
• \(1-\beta\): potencia objetivo.

Configuración rápida

• p0: valor nulo que quieres contrastar.
• Δ: diferencia mínima clínicamente o prácticamente relevante.
• α: 0,05 como valor típico.
• Potencia: 0,80 o 0,90 según exigencia del estudio.
• Sentido de Ha: elige bilateral o unilateral según hipótesis previa.

Ejemplo sencillo

Si \(p_0=0{,}20\), \(\Delta=0{,}05\), \(\alpha=0{,}05\) y potencia 0,80, el tamaño muestral requerido es del orden de cientos de observaciones.

Ejemplo resuelto

Una empresa de servicios quiere evaluar si su tasa de satisfacción de clientes ha cambiado respecto al valor histórico de referencia del 30 %. El departamento de calidad plantea el contraste bilateral \(H_0: p = 0{,}30\) frente a \(H_a: p \neq 0{,}30\), y considera que detectar un cambio de al menos 10 puntos porcentuales (hasta \(p_1 = 0{,}40\)) es relevante para la toma de decisiones. Se fija una potencia del 80 % (\(z_\beta = 0{,}842\)) y \(\alpha = 0{,}05\) bilateral (\(z_{\alpha/2} = 1{,}960\)).

La fórmula para el contraste de una proporción utiliza las varianzas bajo \(H_0\) y bajo \(H_1\) por separado. Calculamos los términos paso a paso:

\( n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sqrt{p_0(1-p_0)} + z_\beta\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2 \)

Con \(p_0 = 0{,}30\), \(p_1 = 0{,}40\) y \(\Delta = |p_1 - p_0| = 0{,}10\): el primer término bajo raíz es \(p_0(1-p_0) = 0{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}21\), luego \(\sqrt{0{,}21} = 0{,}4583\); el segundo es \(p_1(1-p_1) = 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24\), luego \(\sqrt{0{,}24} = 0{,}4899\). Sustituyendo:

\( n = \left(\frac{1{,}960 \times 0{,}4583 + 0{,}842 \times 0{,}4899}{0{,}10}\right)^2 = \left(\frac{0{,}8983 + 0{,}4125}{0{,}10}\right)^2 = \left(\frac{1{,}3108}{0{,}10}\right)^2 = (13{,}108)^2 = 171{,}8 \rightarrow n = 172 \)

Se necesitan 172 encuestados para que el contraste tenga un 80 % de probabilidad de detectar un cambio real de 10 pp en la satisfacción, controlando el error tipo I al 5 %. Si la campaña de satisfacción ha elevado realmente la proporción al 40 %, el test lo detectará en 8 de cada 10 aplicaciones del procedimiento.

Interpretación práctica: si tras recoger 172 respuestas se obtiene \(\hat{p} = 0{,}40\) o más, el contraste concluirá que la proporción ha cambiado significativamente respecto al 30 % histórico. Con menos de 172 respuestas, el estudio estaría infrapotenciado y correría el riesgo de no detectar la mejora aunque sea real.

Escenario con mayor exigencia estadística (\(\alpha = 0{,}01\)): si la empresa decide ser más conservadora frente a falsos positivos y usa \(\alpha = 0{,}01\) (\(z_{\alpha/2} = 2{,}576\)), manteniendo la misma potencia del 80 %: \( n = ((2{,}576 \times 0{,}4583 + 0{,}842 \times 0{,}4899) / 0{,}10)^2 = (1{,}1806 + 0{,}4125)^2 / 0{,}01 = (15{,}931)^2 = 253{,}8 \rightarrow n = 254 \). El paso de \(\alpha = 0{,}05\) a \(\alpha = 0{,}01\) requiere un 48 % más de respuestas para mantener la misma potencia.

Supuestos del modelo

• Muestreo aleatorio e independencia.
• Aproximación normal válida para la proporción en el rango de n planificado.

Cómo interpretar el resultado

El valor \(n\) es el número mínimo de observaciones válidas para que el contraste \(H_0\!: p = p_0\) frente a la alternativa especificada tenga la potencia \((1-\beta)\) al nivel \(\alpha\). Redondea siempre hacia arriba. Si prevés que algunos encuestados no completarán el cuestionario o serán excluidos por criterios de inclusión, divide \(n\) entre \((1 - \text{tasa de no respuesta})\) para obtener el número de individuos a contactar; con un 20 % de no respuesta esperada, planifica \(\lceil n / 0{,}80 \rceil\) contactos.

Los parámetros que más influyen en \(n\) son la diferencia \(\Delta = |p_1 - p_0|\) y la proporción bajo la alternativa \(p_1\). La función de varianza \(p(1-p)\) es máxima en \(p = 0{,}5\), así que cuando tanto \(p_0\) como \(p_1\) se alejan de 0,5, el \(n\) disminuye. Reducir \(\Delta\) a la mitad incrementa \(n\) aproximadamente cuatro veces; aumentar la potencia del 80 % al 90 % lo incrementa en torno a un 30 %. La elección entre contraste bilateral y unilateral también importa: un contraste unilateral requiere menor \(n\) para la misma potencia, pero solo está justificado si el efecto puede producirse únicamente en una dirección. Realiza un análisis de sensibilidad variando \(p_0\) y \(p_1\) en ±0,05 para evaluar la robustez del diseño.

Si el \(n\) obtenido es inasumible, considera: (1) aumentar \(\Delta\) si el contexto lo permite, (2) reducir la potencia a un 80 % si se había especificado el 90 %, o (3) cambiar a un contraste unilateral si el planteamiento científico lo justifica. Cuando \(n\) sea pequeño (< 30) y \(p_0\) o \(p_1\) sean extremas (< 0,10 o > 0,90), considera la corrección de continuidad o el test exacto binomial en lugar de la aproximación normal. Con los datos recogidos, realiza el contraste con la calculadora de contraste de hipótesis para una proporción; si el objetivo es estimar \(p\) con precisión, usa la calculadora de tamaño muestral para una proporción (estimación).