Calculadora de tamaño muestral para contraste de una proporción

Explicación

Esta calculadora estima el tamaño muestral para contrastar una proporción con hipótesis nula \(H_0: p=p_0\), nivel de significación \(\alpha\), potencia \(1-\beta\) y diferencia mínima detectable \(\Delta=|p_1-p_0|\).

Permite alternativas bilateral (\(H_a: p\neq p_0\)) o unilateral (\(H_a: p\geq p_0\), \(H_a: p\leq p_0\)).

Fórmula de tamaño muestral

\( n=\left(\frac{Z_{\alpha^*}\sqrt{p_0(1-p_0)} + Z_{\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2 \)

• \(\alpha^*\): \(\alpha/2\) en bilateral y \(\alpha\) en unilateral.
• \(p_0\): proporción bajo hipótesis nula.
• \(p_1\): proporción bajo alternativa (según \(\Delta\) y dirección).
• \(1-\beta\): potencia objetivo.

Configuración rápida

• p0: valor nulo que quieres contrastar.
• Δ: diferencia mínima clínicamente o prácticamente relevante.
• α: 0,05 como valor típico.
• Potencia: 0,80 o 0,90 según exigencia del estudio.
• Sentido de Ha: elige bilateral o unilateral según hipótesis previa.

Ejemplo sencillo

Si \(p_0=0{,}20\), \(\Delta=0{,}05\), \(\alpha=0{,}05\) y potencia 0,80, el tamaño muestral requerido es del orden de cientos de observaciones.

Supuestos del modelo

• Muestreo aleatorio e independencia.
• Aproximación normal válida para la proporción en el rango de n planificado.

Ejemplo resuelto

Una empresa de servicios quiere evaluar si su tasa de satisfacción de clientes ha cambiado respecto al valor histórico de referencia del 30 %. El departamento de calidad plantea el contraste bilateral \(H_0: p = 0{,}30\) frente a \(H_a: p \neq 0{,}30\), y considera que detectar un cambio de al menos 10 puntos porcentuales (hasta \(p_1 = 0{,}40\)) es relevante para la toma de decisiones. Se fija una potencia del 80 % (\(z_\beta = 0{,}842\)) y \(\alpha = 0{,}05\) bilateral (\(z_{\alpha/2} = 1{,}960\)).

La fórmula para el contraste de una proporción utiliza las varianzas bajo \(H_0\) y bajo \(H_1\) por separado. Calculamos los términos paso a paso:

\( n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sqrt{p_0(1-p_0)} + z_\beta\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2 \)

Con \(p_0 = 0{,}30\), \(p_1 = 0{,}40\) y \(\Delta = |p_1 - p_0| = 0{,}10\): el primer término bajo raíz es \(p_0(1-p_0) = 0{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}21\), luego \(\sqrt{0{,}21} = 0{,}4583\); el segundo es \(p_1(1-p_1) = 0{,}40 \times 0{,}60 = 0{,}24\), luego \(\sqrt{0{,}24} = 0{,}4899\). Sustituyendo:

\( n = \left(\frac{1{,}960 \times 0{,}4583 + 0{,}842 \times 0{,}4899}{0{,}10}\right)^2 = \left(\frac{0{,}8983 + 0{,}4125}{0{,}10}\right)^2 = \left(\frac{1{,}3108}{0{,}10}\right)^2 = (13{,}108)^2 = 171{,}8 \rightarrow n = 172 \)

Se necesitan 172 encuestados para que el contraste tenga un 80 % de probabilidad de detectar un cambio real de 10 pp en la satisfacción, controlando el error tipo I al 5 %. Si la campaña de satisfacción ha elevado realmente la proporción al 40 %, el test lo detectará en 8 de cada 10 aplicaciones del procedimiento.

Interpretación práctica: si tras recoger 172 respuestas se obtiene \(\hat{p} = 0{,}40\) o más, el contraste concluirá que la proporción ha cambiado significativamente respecto al 30 % histórico. Con menos de 172 respuestas, el estudio estaría infrapotenciado y correría el riesgo de no detectar la mejora aunque sea real.

Escenario con mayor exigencia estadística (\(\alpha = 0{,}01\)): si la empresa decide ser más conservadora frente a falsos positivos y usa \(\alpha = 0{,}01\) (\(z_{\alpha/2} = 2{,}576\)), manteniendo la misma potencia del 80 %: \( n = ((2{,}576 \times 0{,}4583 + 0{,}842 \times 0{,}4899) / 0{,}10)^2 = (1{,}1806 + 0{,}4125)^2 / 0{,}01 = (15{,}931)^2 = 253{,}8 \rightarrow n = 254 \). El paso de \(\alpha = 0{,}05\) a \(\alpha = 0{,}01\) requiere un 48 % más de respuestas para mantener la misma potencia.

Cómo interpretar el resultado

El valor \(n\) es el número mínimo de observaciones válidas para que el contraste \(H_0\!: p = p_0\) frente a la alternativa especificada tenga la potencia \((1-\beta)\) al nivel \(\alpha\). Redondea siempre hacia arriba. Si prevés que algunos encuestados no completarán el cuestionario o serán excluidos por criterios de inclusión, divide \(n\) entre \((1 - \text{tasa de no respuesta})\) para obtener el número de individuos a contactar; con un 20 % de no respuesta esperada, planifica \(\lceil n / 0{,}80 \rceil\) contactos.

Los parámetros que más influyen en \(n\) son la diferencia \(\Delta = |p_1 - p_0|\) y la proporción bajo la alternativa \(p_1\). La función de varianza \(p(1-p)\) es máxima en \(p = 0{,}5\), así que cuando tanto \(p_0\) como \(p_1\) se alejan de 0,5, el \(n\) disminuye. Reducir \(\Delta\) a la mitad incrementa \(n\) aproximadamente cuatro veces; aumentar la potencia del 80 % al 90 % lo incrementa en torno a un 30 %. La elección entre contraste bilateral y unilateral también importa: un contraste unilateral requiere menor \(n\) para la misma potencia, pero solo está justificado si el efecto puede producirse únicamente en una dirección. Realiza un análisis de sensibilidad variando \(p_0\) y \(p_1\) en ±0,05 para evaluar la robustez del diseño.

Si el \(n\) obtenido es inasumible, considera: (1) aumentar \(\Delta\) si el contexto lo permite, (2) reducir la potencia a un 80 % si se había especificado el 90 %, o (3) cambiar a un contraste unilateral si el planteamiento científico lo justifica. Cuando \(n\) sea pequeño (< 30) y \(p_0\) o \(p_1\) sean extremas (< 0,10 o > 0,90), considera la corrección de continuidad o el test exacto binomial en lugar de la aproximación normal. Con los datos recogidos, realiza el contraste con la calculadora de contraste de hipótesis para una proporción; si el objetivo es estimar \(p\) con precisión, usa la calculadora de tamaño muestral para una proporción (estimación).