Calculadora de tamaño muestral para proporción en población finita

Explicación

Cuando el tamaño de la población N es conocido y finito, la fórmula estándar de Cochran sobreestima el tamaño muestral necesario. El factor de corrección por población finita (FPC) corrige esto: cuanto mayor sea la fracción de muestreo n₀/N, mayor es la reducción obtenida.

La corrección es significativa cuando la muestra sin corregir representa más del 5 % de la población total (n₀/N > 0,05). Si N es muy grande (por ejemplo, > 100 000) y n₀/N < 5 %, la corrección prácticamente no cambia el resultado y puedes usar la fórmula estándar para una proporción.

Fórmula de tamaño muestral

\( n_0 = \frac{Z^2\,p(1-p)}{E^2} \)

\( n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0-1}{N}} \)

• n₀: tamaño muestral sin corregir (fórmula de Cochran para población infinita).
• n: tamaño final corregido por la finitud de la población.
• p: proporción esperada (usa 0,5 si no la conoces).
• E: margen de error absoluto máximo.
• N: tamaño total conocido de la población.

Efecto del factor de corrección

El FPC es \(\sqrt{(N-n)/(N-1)}\). Para N = 500 y n₀ = 217, la corrección reduce la muestra a 145 (una reducción del 33 %). Para N = 10 000 y n₀ = 385, baja a 369 (menos del 5 % de reducción). La ganancia es mayor cuanto más pequeño es N y mayor es n₀/N.

Configuración rápida

• p: si no conoces la proporción, usa 0,5 (escenario conservador).
• N: debe ser el recuento real y conocido de la población. Si N no está bien definido, usa la calculadora sin corrección.
• E: 0,05 (±5 %) es habitual en encuestas organizacionales; 0,03 si necesitas más precisión.
• Nivel de confianza: 95 % es el estándar.

Ejemplo resuelto

El área de Personas de una empresa de servicios quiere medir la proporción de empleados satisfechos con el plan de formación interno. La empresa tiene N = 2 000 empleados en nómina, un censo exactamente conocido y cerrado, lo que hace posible —y conveniente— aplicar la corrección por población finita.

No existen datos históricos de satisfacción, por lo que se adopta la estimación más conservadora: p = 0,5 (máxima varianza, que sobredimensiona el tamaño muestral). El margen de error admisible es E = 0,05 (±5 puntos porcentuales) con un nivel de confianza del 95 % (z = 1,96).

Primero se calcula el tamaño muestral sin corrección mediante la fórmula de Cochran:

\( n_0 = \dfrac{z^2 \cdot p\,(1-p)}{E^2} = \dfrac{(1{,}96)^2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}{(0{,}05)^2} = \dfrac{3{,}8416 \times 0{,}25}{0{,}0025} = \dfrac{0{,}9604}{0{,}0025} = 384{,}2 \rightarrow 385 \)

A continuación se aplica el factor de corrección por población finita:

\( n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}} = \dfrac{385}{1 + \dfrac{384}{2\,000}} = \dfrac{385}{1{,}192} \approx 322{,}9 \rightarrow \mathbf{323} \)

La corrección permite reducir la muestra de 385 a 323 encuestas, un ahorro de 62 entrevistas (≈ 16 %). La fracción de muestreo es \( f = 323/2\,000 \approx 16{,}2\,\% \), claramente superior al umbral del 5 % a partir del cual la corrección es recomendable.

Con las 323 encuestas realizadas a empleados elegidos de forma aleatoria se puede afirmar, con un 95 % de confianza, que la proporción real de empleados satisfechos no se aleja en más de ±5 puntos porcentuales del valor muestral observado. Si se desea mayor precisión —por ejemplo, ±3 pp—, la muestra corregida ascendería a aproximadamente 638 empleados.

Supuestos del modelo

• Muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población de tamaño N conocido.
• N es un número fijo y bien definido antes del muestreo.
• La aproximación normal es válida para n·p ≥ 5 y n·(1−p) ≥ 5.

Usos frecuentes

• Encuestas a plantillas de empresas o instituciones.
• Estudios en alumnos o pacientes de un centro concreto.
• Auditorías de carteras de clientes, proveedores o registros cerrados.
• Control de calidad sobre lotes o inventarios de tamaño conocido.

Cómo interpretar el resultado

El valor \(n\) es el tamaño muestral mínimo corregido por población finita para estimar una proporción con el margen de error \(E\) y el nivel de confianza especificados. La corrección por población finita reduce el \(n\) respecto a la fórmula estándar para poblaciones infinitas: si la fracción de muestreo \(f = n/N < 5\,\%\), la reducción es prácticamente despreciable; si \(f > 20\,\%\), el ahorro es sustancial y la corrección es necesaria para no reclutar más individuos de los necesarios. En casos extremos (\(f > 50\,\%\)), considera si no es más eficiente realizar un censo completo.

La proporción \(p\) sigue siendo el parámetro más incierto. Si no tienes información previa, usa \(p = 0{,}5\) (escenario conservador). Es fundamental que \(N\) represente el tamaño real y verificado de la población objetivo: si estudias la satisfacción de los clientes activos de un negocio con 800 cuentas activas, \(N = 800\). Usar un \(N\) aproximado o incorrecto elimina la ventaja de la FPC. Realiza un análisis de sensibilidad variando \(p\) en ±0,10 y \(N\) en ±10 % para ver cómo cambia \(n\); cuando \(N\) es grande, la FPC es insensible a pequeños errores en \(N\), pero con \(N\) pequeño puede ser relevante.

Si prevés tasas de no respuesta, calcula el número de individuos a contactar como \(\lceil n / (1 - \text{tasa de no respuesta}) \rceil\), verificando que el total no supere \(N\). Una vez recogidos los datos, construye el intervalo de confianza real con la calculadora de IC para una proporción; si la fracción de muestreo fue significativa (\(f > 5\,\%\)), aplica también la FPC en el cálculo del IC para obtener una estimación más precisa.

Referencias y lecturas adicionales

• Wikipedia (en): Finite population correction — derivación y cuándo aplicarla.
• Wikipedia (en): Simple random sample — base del muestreo aleatorio simple.
• Cochran, W. G. (1977). Sampling Techniques (3.ª ed.). Wiley. — capítulo 4 sobre muestreo en poblaciones finitas.

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo aplica la corrección? Cuando n₀/N > 5 %. Si la fracción es menor, la corrección reduce el tamaño muestral menos del 5 % y es opcional.
• ¿Qué pasa si N es desconocido? Usa la calculadora estándar (sin corrección). Sobreestimará la muestra pero el resultado será válido.
• ¿El resultado puede ser mayor que N? No; la corrección garantiza n < N. Si n₀ ≥ N, necesitas censar toda la población.
• ¿Es exacta la fórmula? Es la aproximación normal estándar. Para proporciones muy extremas o N muy pequeño, considera métodos exactos.