Calculadora de tamaño muestral para media en población finita

Explicación

Cuando estimas una media poblacional y el tamaño total de la población N es conocido y finito, la fórmula estándar sobreestima la muestra necesaria. El factor de corrección por población finita (FPC) aprovecha el hecho de que muestrear una fracción grande de la población aporta más información de la que predice la fórmula infinita.

La corrección es relevante cuando n₀/N > 5 %. Por ejemplo, para N = 1 000 y n₀ = 139, la fracción de muestreo es 13,9 %, lo que justifica la corrección. Si N > 10 000 y n₀ es pequeño, el ahorro es mínimo y puedes usar la fórmula estándar para una media.

Fórmula de tamaño muestral

\( n_0 = \left(\frac{Z\,\sigma}{E}\right)^2 \)

\( n = \frac{n_0}{1 + \dfrac{n_0-1}{N}} \)

• n₀: tamaño sin corrección (fórmula estándar para población infinita).
• n: tamaño corregido por la finitud de la población.
• σ: desviación estándar esperada de la variable.
• E: margen de error absoluto máximo tolerable.
• N: tamaño total conocido de la población.

Configuración rápida

• σ: obtén de datos históricos, un piloto o la literatura. Si no la tienes, usa rango/4 como estimación conservadora.
• N: debe ser el recuento exacto y conocido de la población objetivo antes del muestreo.
• E: define el error en las mismas unidades que σ — ¿a partir de qué diferencia cambia tu decisión?
• Nivel de confianza: 95 % es el estándar; 99 % para decisiones críticas.

Ejemplo resuelto

El departamento de recursos humanos de una planta industrial quiere estimar el tiempo medio que los operarios dedican a una tarea de ensamblaje concreta. La planta cuenta con N = 1 200 trabajadores en plantilla, un número exactamente conocido, lo que hace obligatoria la corrección por población finita.

Estudios ergonómicos anteriores indican que la desviación típica del tiempo de tarea es σ = 12 minutos. El ingeniero de métodos fija un margen de error admisible de E = 2 minutos y trabaja con un nivel de confianza del 95 % (z = 1,96).

El primer paso es calcular el tamaño muestral sin corrección, como si la población fuera infinita:

\( n_0 = \left(\dfrac{z \cdot \sigma}{E}\right)^2 = \left(\dfrac{1{,}96 \times 12}{2}\right)^2 = (11{,}76)^2 \approx 138{,}3 \rightarrow 139 \)

A continuación se aplica la corrección por población finita, que reduce el tamaño muestral cuando la fracción de muestreo \( f = n_0/N \) no es despreciable:

\( n = \dfrac{n_0}{1 + \dfrac{n_0 - 1}{N}} = \dfrac{139}{1 + \dfrac{138}{1\,200}} = \dfrac{139}{1{,}115} \approx 124{,}7 \rightarrow \mathbf{125} \)

El ahorro es de 14 entrevistas respecto al diseño sin corrección. La fracción de muestreo es \( f \approx 125/1\,200 \approx 10{,}4\,\% \), suficientemente grande para que la corrección sea relevante (regla práctica: corregir siempre que f > 5 %).

Con una muestra de 125 operarios elegidos al azar se puede afirmar, con un 95 % de confianza, que el tiempo medio estimado no se aleja más de ±2 minutos del verdadero tiempo medio de toda la plantilla. Este resultado permite dimensionar los tiempos de ciclo y detectar cuellos de botella con una precisión suficiente para la toma de decisiones.

Usos frecuentes

• Tiempo medio de tarea en una planta o departamento concreto.
• Gasto medio de clientes activos en un programa de fidelización.
• Consumo medio en una comunidad cerrada (edificio, campus, residencia).
• Inventario: peso o valor medio de artículos en un almacén conocido.

Supuestos del modelo

• Muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población de tamaño N exactamente conocido.
• La variable sigue aproximadamente una distribución normal, o n es suficientemente grande (TLC).
• N es fijo y no cambia durante el muestreo.

Cómo interpretar el resultado

El valor \(n\) es el tamaño muestral mínimo corregido por la finitud de la población para estimar una media con el margen de error \(E\) y el nivel de confianza especificados. La corrección por población finita (FPC) reduce el \(n\) respecto al caso de población infinita: cuanto mayor es la fracción de muestreo \(f = n/N\), mayor es el ahorro. Si \(f < 5\,\%\), la FPC es prácticamente irrelevante (reduce \(n\) menos de un 5 %) y la fórmula estándar sería suficiente; si \(f > 20\,\%\), el ahorro es sustancial y la corrección resulta necesaria para no sobredimensionar el estudio.

Es fundamental que \(N\) represente el tamaño real de la población objetivo, no el marco muestral aproximado ni la población de referencia general. Por ejemplo, si el estudio se dirige a los trabajadores de una empresa concreta con 450 empleados, \(N = 450\); usar un \(N\) inflado (como la plantilla de todas las empresas del sector) eliminaría la ventaja de la corrección. Realiza un análisis de sensibilidad probando \(N \pm 10\,\%\) para evaluar cuánto afecta una estimación imprecisa del tamaño poblacional al \(n\) resultante; con poblaciones grandes la sensibilidad es baja, pero con poblaciones pequeñas puede ser relevante.

Si prevés tasas de no respuesta o exclusión, calcula el \(n\) de reclutamiento dividiendo el \(n\) corregido entre \((1 - \text{tasa de pérdida})\), siempre verificando que el resultado no supere \(N\). Si tras el ajuste el tamaño muestral necesario supera el 80 % de la población, plantéate un censo en lugar de un muestreo. Con los datos recogidos, usa la calculadora de intervalo de confianza para la media aplicando también la FPC para obtener el IC real del estudio.

Referencias y lecturas adicionales

• Wikipedia (en): Finite population correction — derivación y cuándo la corrección es relevante.
• Wikipedia (en): Simple random sample — fundamentos del muestreo aleatorio sin reemplazamiento.
• Cochran, W. G. (1977). Sampling Techniques (3.ª ed.). Wiley. — referencia clásica del muestreo en poblaciones finitas.

Preguntas frecuentes

• ¿Cuándo merece la pena aplicar la corrección? Cuando n₀/N > 5 %. Con fracciones menores, el ahorro es inferior al 5 % de observaciones.
• ¿Qué pasa si N no se conoce exactamente? Usa la fórmula sin corrección; sobreestimará la muestra pero el resultado siempre será válido.
• ¿Puede n ser mayor que N? No: la corrección garantiza n < N. Si n₀ ≥ N, el censo completo es necesario.
• ¿Por qué no usar siempre la corrección? Porque requiere conocer N con exactitud. Si N es incierto o variable, la corrección puede ser engañosa.