Calculadora
Introduce la razón R = σ₁/σ₀, el nivel de significación, la potencia deseada y el tipo de alternativa para obtener el tamaño muestral mínimo.
Explicación
El test chi-cuadrado de varianza contrasta \(H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2\) mediante el estadístico \(T = (n-1)S^2/\sigma_0^2\), que bajo \(H_0\) sigue una distribución \(\chi^2_{n-1}\).
Bajo la alternativa \(\sigma_1 = R\cdot\sigma_0\), el estadístico \(T\) sigue una distribución \(R^2 \cdot \chi^2_{n-1}\), equivalentemente \(T/R^2 \sim \chi^2_{n-1}\). La potencia exacta se evalúa usando la CDF de la distribución chi-cuadrado central, sin aproximaciones normales.
Fórmula de potencia exacta
Para alternativa bilateral (\(H_a: \sigma \neq \sigma_0\)):
\( \text{Potencia} = F_{\chi^2_{n-1}}\!\left(\frac{\chi^2_{\alpha/2,\,n-1}}{R^2}\right) + 1 - F_{\chi^2_{n-1}}\!\left(\frac{\chi^2_{1-\alpha/2,\,n-1}}{R^2}\right) \)
Para alternativa unilateral superior (\(H_a: \sigma \geq \sigma_0\)):
\( \text{Potencia} = 1 - F_{\chi^2_{n-1}}\!\left(\frac{\chi^2_{1-\alpha,\,n-1}}{R^2}\right) \)
Para alternativa unilateral inferior (\(H_a: \sigma \leq \sigma_0\)):
\( \text{Potencia} = F_{\chi^2_{n-1}}\!\left(\frac{\chi^2_{\alpha,\,n-1}}{R^2}\right) \)
La calculadora busca el menor \(n\) tal que la potencia exacta alcanza el valor objetivo.
Configuración rápida
- R: especifica la razón σ₁/σ₀ que quieres detectar. R=1,5 (incremento del 50 %) es un tamaño de efecto moderado. R=2 (varianza cuádruple) se detecta con muestras más pequeñas.
- α: 0,05 es el estándar; 0,01 para decisiones con consecuencias críticas.
- Potencia: 0,80 como mínimo habitual; 0,90 si los falsos negativos son costosos.
- Alternativa: bilateral si no tienes dirección previa; unilateral superior para detectar incrementos de variabilidad (control de calidad).
- Normalidad: este test es muy sensible a desviaciones de la normalidad; verifica el supuesto antes de aplicarlo.
Ejemplo resuelto
Un fabricante de semiconductores quiere detectar un incremento de al menos un 50 % en la desviación estándar del diámetro de los chips (R = σ₁/σ₀ = 1,5). El proceso nominal tiene \(\sigma_0 = 2\) μm. Se quiere un contraste bilateral con \(\alpha = 0{,}05\) y potencia del 80 %.
La calculadora busca el menor \(n\) tal que la potencia exacta sea ≥ 0,80 con R = 1,5, y devuelve aproximadamente n = 54 observaciones. Con esa muestra, si la varianza real es \((1{,}5 \times 2)^2 = 9\) μm² (en lugar de los 4 μm² nominales), el test detectará el cambio el 80 % de las veces.
Análisis de sensibilidad: con R = 2 (varianza cuádruple), la muestra se reduce a n ≈ 18. Para detectar R = 1,25 (incremento del 25 %) con la misma potencia se necesitan n ≈ 184. Los contrastes de varianza requieren muestras considerablemente mayores que los de media para el mismo nivel de efecto relativo.
Cómo interpretar el resultado
El valor \(n\) obtenido es el mínimo de observaciones necesarias para que el contraste de hipótesis sobre la varianza alcance la potencia especificada. Con ese tamaño muestral, si la desviación real de la varianza respecto a \(\sigma_0^2\) es al menos la indicada por el cociente \(R = \sigma_1/\sigma_0\), el test la detectará con la probabilidad deseada. Redondea siempre hacia arriba. Si prevés pérdidas de observaciones, divide \(n\) entre \((1 - \text{tasa de pérdida})\) para obtener el reclutamiento necesario.
La potencia del contraste de varianza depende de la desviación relativa \(R\) de forma no lineal: detectar variaciones pequeñas (por ejemplo \(R = 1{,}2\)) requiere muestras muy grandes, mientras que variaciones grandes (\(R = 2\) o más) se detectan con pocas observaciones. Realiza un análisis de sensibilidad variando \(R\) en ±0{,}1 o ±0{,}2 para evaluar la robustez del tamaño muestral a la incertidumbre sobre la magnitud real del efecto.
Un supuesto crítico es la normalidad de los datos: el estadístico chi-cuadrado para la varianza es notablemente sensible a desviaciones de la normalidad, mucho más que el estadístico \(t\) para la media. Si los datos son asimétricos o presentan colas pesadas, el nivel nominal \(\alpha\) puede no respetarse. Antes de usar este resultado, verifica la normalidad con la calculadora de tamaño muestral para Shapiro-Wilk o realiza un gráfico Q-Q. Una vez recogidos los datos, realiza el contraste con la calculadora de contraste de hipótesis para varianzas.
Referencias
- Zar, J. H. (2010). Biostatistical Analysis (5.ª ed.). Pearson.
- Montgomery, D. C. (2019). Introduction to Statistical Quality Control (8.ª ed.). Wiley.