Intervalo de confianza para una media (población finita)

Explicación

Cuando la población total tiene un tamaño \(N\) conocido y se muestrea sin reemplazamiento, las observaciones no son estrictamente independientes. El factor de corrección por población finita (FPC) reduce el error estándar en proporción a la fracción muestreada \(f = n/N\).

El resultado es un IC más estrecho que el estándar: cuanto mayor es \(f\), mayor es el ahorro en precisión. Si \(N \to \infty\) (o \(f < 5\,\%\)), FPC ≈ 1 y ambos ICs coinciden.

Fórmula del IC con FPC

\( \text{FPC} = \sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \)

\( \text{SE}_{\text{FPC}} = \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \text{FPC} \)

\( \text{IC} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\;n-1} \cdot \text{SE}_{\text{FPC}} \)

• \(\bar{x}\): media muestral.
• \(s\): desviación típica muestral (con divisor n−1).
• FPC: factor de corrección por población finita.
• \(t_{\alpha/2,n-1}\): cuantil t de Student con \(n-1\) grados de libertad. Para n grande converge al cuantil normal z.

Cuándo el FPC es importante

• \(f = n/N > 5\,\%\): la corrección reduce perceptiblemente el IC.
• \(f > 20\,\%\): la reducción del IC es sustancial.
• \(f < 5\,\%\): la diferencia entre IC corregido y estándar es menor del 3 % y puede ignorarse.

Ejemplo resuelto

Una empresa con N = 1 200 empleados toma una muestra de n = 127. El tiempo medio de una tarea es \(\bar{x} = 72\) minutos con desviación típica muestral \(s = 12\) minutos. Se quiere el IC al 95 %.

La fracción de muestreo es \(f = 127/1\,200 \approx 10{,}6\,\%\), superior al umbral del 5 %, por lo que la corrección es relevante.

\(\text{FPC} = \sqrt{(1200-127)/(1200-1)} = \sqrt{1073/1199} \approx 0{,}9463\).

El error estándar sin corrección es \(12/\sqrt{127} \approx 1{,}065\) min, y con FPC es \(1{,}065 \times 0{,}9463 \approx 1{,}008\) min.

El valor crítico t con 126 gl al 95 % es \(t_{0{,}025,126} \approx 1{,}979\).

IC con FPC: \(72 \pm 1{,}979 \times 1{,}008 = [70{,}0,\; 74{,}0]\) minutos.

Sin corrección el IC sería \([69{,}9,\; 74{,}1]\). La corrección reduce la amplitud de 4,2 a 4,0 minutos, una reducción del 5,4 % en este caso.

Supuestos del modelo

• Muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento de una población de tamaño N exactamente conocido.
• La variable sigue aproximadamente una distribución normal, o n es suficientemente grande (TLC).
• N es fijo y conocido antes del muestreo.
• Se usa la distribución t (σ desconocida). Si σ es conocida, sustituye t por z.

Cómo interpretar el resultado

El intervalo \([L, U]\) es el rango plausible de la media poblacional \(\mu\) dado el nivel de confianza elegido. La interpretación frecuentista es la misma que en cualquier IC: si repitieras el muestreo y construyeras el IC con el mismo procedimiento muchas veces, aproximadamente un \(C \times 100\,\%\) de esos intervalos contendría el verdadero valor de \(\mu\). El IC corregido por FPC es siempre igual o más estrecho que el estándar: esto no es un sesgo, sino el reflejo correcto de que muestrear el \(n/N\,\%\) de la población sin reemplazamiento proporciona más información que muestrear con reemplazamiento.

La diferencia entre ambos ICs depende directamente de la fracción de muestreo. Si \(n/N < 5\,\%\), el FPC es cercano a 1 y ambos intervalos coinciden prácticamente. Si \(n/N\) supera el 20 %, la reducción de amplitud puede ser sustancial, como muestra la calculadora al comparar los dos ICs simultáneamente en el gráfico. Cuando se muestrea la totalidad de la población (\(n = N\)), el IC se colapsa a un punto: la incertidumbre desaparece porque se conocen todos los elementos.

• Conexión con el contraste: si un valor de referencia \(\mu_0\) queda fuera del IC con FPC, los datos lo rechazan al nivel \(\alpha = 1 - C\) en el contraste bilateral equivalente para poblaciones finitas.
• Qué intervalo usar: usa siempre el IC con FPC cuando \(n/N > 5\,\%\) y el diseño sea muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento. Informar solo el IC estándar cuando la fracción es grande sobreestima la incertidumbre real.

Referencias

• Cochran, W. G. (1977). Sampling Techniques (3.ª ed.). Wiley.
• Lohr, S. L. (2019). Sampling: Design and Analysis (3.ª ed.). Chapman & Hall.