Intervalo de confianza para una media (σ conocida)

Explicación

Cuando conoces la desviación típica poblacional \(\sigma\) (o puedes suponerla conocida con certeza), el intervalo de confianza para la media se construye usando la distribución normal estándar. Es el caso más sencillo y sirve como punto de partida para entender la lógica de los intervalos de confianza.

En la práctica, \(\sigma\) raramente se conoce con exactitud. Sin embargo, este intervalo es una buena aproximación cuando el tamaño muestral es grande (n ≥ 30) y la varianza poblacional es estable y conocida de estudios anteriores.

Fórmula

Denotamos por \(C\) el nivel de confianza y por \(\alpha=1-C\) el área total fuera del intervalo. Para un 95 % de confianza, \(C=0{,}95\), \(\alpha=0{,}05\) y \(\alpha/2=0{,}025\) en cada cola.

\( \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \)

• \(\bar{x}\): media muestral observada.
• \(z_{\alpha/2}\): valor crítico de la normal estándar para el nivel de confianza elegido.
• \(\sigma\): desviación típica poblacional (conocida).
• \(n\): tamaño de la muestra.

El margen de error es \(E = z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\), y el intervalo queda \([\bar{x} - E,\; \bar{x} + E]\).

Valores críticos z habituales

• Confianza 90 %: \(z_{0,05} = 1{,}645\)
• Confianza 95 %: \(z_{0,025} = 1{,}960\)
• Confianza 99 %: \(z_{0,005} = 2{,}576\)

Ejemplo resuelto

Una fábrica de tornillos conoce por especificaciones técnicas que \(\sigma = 0{,}08\) mm. Se mide una muestra de 50 tornillos y se obtiene \(\bar{x} = 10{,}02\) mm. Con un 95 % de confianza (\(C=0{,}95\), \(\alpha=0{,}05\)), el intervalo es:

\( 10{,}02 \pm 1{,}960 \cdot \frac{0{,}08}{\sqrt{50}} \approx [9{,}998,\; 10{,}042] \text{ mm} \)

Supuestos del intervalo z

• La muestra debe ser aleatoria y las observaciones independientes.
• La desviación típica poblacional \(\sigma\) debe ser conocida o estar fijada con suficiente certeza por información externa al estudio.
• La media muestral debe tener distribución aproximadamente normal: esto se cumple si la población es normal o si el tamaño muestral es grande por el teorema central del límite.
• Si \(\sigma\) se estima con la muestra y \(n\) es pequeño, conviene usar el IC con t de Student en lugar del intervalo z.

Cómo interpretar el resultado

El intervalo \([L, U]\) define el rango de valores de \(\mu\) compatibles con los datos y el nivel de confianza seleccionado. La interpretación correcta es frecuentista: si repitieras el muestreo muchas veces y construyeras el IC con el mismo procedimiento, una proporción \(C\) de esos intervalos contendría el verdadero valor de \(\mu\). En el caso concreto del IC que tienes delante, \(\mu\) o está dentro o está fuera; la probabilidad del \(C\,\%\) se refiere al método, no al resultado individual.

En el gráfico, la región verde bajo la curva normal estándar representa la zona de confianza y las colas rojas (cada una con área \(\alpha/2\)) marcan los valores críticos \(\pm z_{\alpha/2}\). El estadístico z observado, marcado en amarillo, muestra dónde se sitúa la muestra actual en la escala estandarizada. Si el estadístico z cae dentro de la región verde, el intervalo contiene el valor de referencia; si cae en las colas rojas, lo excluye.

• Amplitud y precisión: la amplitud total es \(2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \sigma/\sqrt{n}\). Para reducirla a la mitad hay que cuadruplicar el tamaño muestral; duplicar la confianza del 90 % al 99 % aumenta \(z\) de 1,645 a 2,576 y ensancha el intervalo un 57 %.
• Conexión con el contraste: si un valor de referencia \(\mu_0\) queda fuera de \([L, U]\), los datos rechazarían \(H_0\!: \mu = \mu_0\) al nivel \(\alpha = 1 - C\) en el contraste bilateral z equivalente.
• Cuándo \(\sigma\) conocida importa: al usar \(\sigma\) exacta (en lugar de estimarla con \(s\)), no hay incertidumbre adicional y el IC es más estrecho que el t para la misma muestra. Esto lo hace especialmente útil cuando la variabilidad del proceso es muy estable y conocida de antemano.

Cuándo usar este intervalo

Usa el IC z cuando el tamaño muestral es grande (n ≥ 30) o cuando \(\sigma\) está determinada con certeza por el proceso (por ejemplo, equipos de medición calibrados). Para muestras pequeñas con \(\sigma\) desconocida, usa el IC con t de Student.

Preguntas frecuentes

• ¿Por qué se usa z y no t? Porque \(\sigma\) es conocida; la distribución del estadístico \((\bar{x}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})\) es exactamente normal estándar.
• ¿Qué pasa si el IC no contiene el valor de referencia? Que con ese nivel de confianza rechazarías la hipótesis de que \(\mu\) es ese valor.
• ¿Cómo reduzco la amplitud a la mitad? Cuadruplica el tamaño muestral (el margen de error varía con \(1/\sqrt{n}\)).