Explicación
La distribución normal modela mediciones continuas que se concentran alrededor de un valor medio \( \mu \) y se vuelven menos frecuentes al alejarse del centro. Su curva de campana es simétrica: valores igual de alejados por encima y por debajo de la media son igual de probables. La desviación estándar \( \sigma \) controla la dispersión; la regla empírica establece que aproximadamente el 68 % de los valores caen dentro de \( \mu \pm \sigma \), el 95 % dentro de \( \mu \pm 2\sigma \) y el 99,7 % dentro de \( \mu \pm 3\sigma \).
El Teorema Central del Límite garantiza que la media de una muestra grande tiende a seguir una distribución normal independientemente de la distribución original de los datos, lo que explica su protagonismo en estadística inferencial. Úsala cuando tu variable sea continua, surja como suma o promedio de muchos factores pequeños e independientes, y no tenga una cota inferior marcada que limite el dominio. Alturas, notas de exámenes, errores de medición y muchas variables de fabricación son ejemplos habituales.
Fórmula
\( f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \)
Parámetros
- μ (mu): media o centro de la distribución.
- σ (sigma): desviación estándar, que controla la dispersión.
Ejemplo resuelto
Situación: La estatura de adultos en una población sigue una distribución normal con media \(\mu = 170\) cm y desviación estándar \(\sigma = 8\) cm. Se selecciona una persona al azar.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que mida 178 cm o menos, es decir, \(P(X \leq 178)\)?
Solución: Estandarizamos restando la media y dividiendo por la desviación típica: \[ Z = \frac{178 - 170}{8} = \frac{8}{8} = 1{,}00 \] Consultando la tabla de la normal estándar (o la CDF): \[ P(X \leq 178) = P(Z \leq 1{,}00) \approx 0{,}8413 \] Es decir, aproximadamente el 84,13 % de las personas miden 178 cm o menos.
Pregunta 2: ¿Cuál es el percentil 95? Es decir, ¿qué estatura \(x\) cumple \(P(X \leq x) = 0{,}95\)?
Solución: El cuantil 95 de la normal estándar es \(z_{0{,}95} \approx 1{,}6449\). Deshacemos la estandarización: \[ x = \mu + z_{0{,}95} \cdot \sigma = 170 + 1{,}6449 \times 8 \approx 183{,}16 \text{ cm} \] Solo el 5 % de la población supera los 183,16 cm.
Interpretación: La media de 170 cm es el punto de máxima densidad; la regla empírica indica que el 68 % de personas mide entre 162 y 178 cm (\(\mu \pm \sigma\)). El percentil 95 sirve, por ejemplo, para dimensionar puertas o equipamiento ergonómico que cubra al 95 % de la población.