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Cómo leer el gráfico
El eje horizontal es el estadístico Z estandarizado \(Z = (\hat{p} - p_0)/SE_0\). Las dos curvas muestran su distribución en dos escenarios:
- Curva azul (H₀): distribución de Z si la proporción real fuera p₀, que sigue aproximadamente una N(0,1). Las zonas sombreadas en rojo son las regiones de rechazo; su área total es α.
- Curva naranja punteada (H₁): distribución de Z si la proporción real fuera p₁. Está desplazada según la magnitud del efecto. La zona verde —área bajo H₁ dentro de la región de rechazo— es la potencia (1−β). La zona sin sombrear bajo la curva naranja dentro de la región de aceptación es β, el error de tipo II.
Cuanto mayor es |p₁ − p₀| o el tamaño muestral n, más se separan las dos curvas y mayor es la potencia (zona verde más amplia).
Fundamento estadístico
Para el contraste \(H_0: p = p_0\) con aproximación normal, el estadístico es:
\( Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \sim N(0,\,1) \text{ bajo } H_0 \)
Bajo la hipótesis alternativa \(H_1: p = p_1\), el mismo estadístico se distribuye aproximadamente como:
\( Z \sim N\!\left(\delta,\; \sigma_1^2\right) \quad \text{donde} \quad \delta = \frac{(p_1 - p_0)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}},\quad \sigma_1 = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{p_0(1-p_0)}} \)
El parámetro \(\delta\) es la no-centralidad: cuántas desviaciones típicas (bajo H₀) se desplaza el estadístico cuando p = p₁. Cuanto mayor es \(|\delta|\), más fácil es distinguir H₁ de H₀.
Fórmulas de potencia
- Bilateral (\(H_a: p \neq p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; 1 - \Phi\!\left(\frac{z_{\alpha/2} - \delta}{\sigma_1}\right) + \Phi\!\left(\frac{-z_{\alpha/2} - \delta}{\sigma_1}\right) \)
- Unilateral superior (\(H_a: p > p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; 1 - \Phi\!\left(\frac{z_\alpha - \delta}{\sigma_1}\right) \)
- Unilateral inferior (\(H_a: p < p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; \Phi\!\left(\frac{-z_\alpha - \delta}{\sigma_1}\right) \)
Fórmula de tamaño muestral
Para obtener potencia \(1-\beta\) con nivel \(\alpha\) y efecto \(\Delta = |p_1 - p_0|\):
\( n \;=\; \left\lceil\left(\frac{z_{\alpha^*}\sqrt{p_0(1-p_0)} + z_{1-\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2\right\rceil \)
donde \(z_{\alpha^*} = z_{\alpha/2}\) en bilateral y \(z_{\alpha^*} = z_\alpha\) en unilateral.
Ejemplo resuelto
Una empresa quiere verificar si su tasa de satisfacción p₀ = 0,30 ha cambiado tras una campaña de mejora, esperando que suba a p₁ = 0,40. Se realiza el contraste bilateral H₀: p = 0,30 con α = 0,05 y una muestra de n = 172 encuestados.
Paso 1 — Error estándar bajo H₀:
\( SE_0 = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{0{,}30 \times 0{,}70 / 172} \approx 0{,}03494 \)
Paso 2 — No-centralidad δ:
\( \delta = \frac{p_1 - p_0}{SE_0} = \frac{0{,}10}{0{,}03494} \approx 2{,}862 \)
Paso 3 — Varianza relativa bajo H₁:
\( \sigma_1 = \sqrt{\frac{0{,}40 \times 0{,}60}{0{,}30 \times 0{,}70}} = \sqrt{\frac{0{,}24}{0{,}21}} \approx 1{,}069 \)
Paso 4 — Potencia bilateral (\(z_{\alpha/2} = 1{,}960\)):
\( 1-\beta = 1 - \Phi\!\left(\frac{1{,}960 - 2{,}862}{1{,}069}\right) + \Phi\!\left(\frac{-1{,}960 - 2{,}862}{1{,}069}\right) = 1 - \Phi(-0{,}844) + \Phi(-4{,}511) \approx 0{,}801 \)
Con n = 172 y p₁ = 0,40, la potencia es del ≈ 80,1 %. Si la proporción real ha subido a 0,40, el contraste lo detectará correctamente en aproximadamente 8 de cada 10 estudios. El error de tipo II es β ≈ 0,199: hay un 20 % de probabilidad de no detectar la mejora aunque sea real.
Cómo interpretar los resultados
Potencia (1−β)
Una potencia del 80 % significa que si la proporción real es p₁, el test rechazará H₀ el 80 % de las veces. En estudios confirmatorios se recomienda potencia ≥ 0,80; en decisiones donde el coste del falso negativo es alto, ≥ 0,90.
Error de tipo II (β)
Es el complementario: β = 1 − potencia. Con β = 0,20, uno de cada cinco estudios con el mismo diseño no detectaría el efecto aunque exista. Una potencia baja hace que los resultados negativos sean poco informativos: no rechazar H₀ no implica que el efecto sea nulo.
Tamaño muestral
El n calculado es el mínimo teórico con la aproximación normal. En la práctica, aplica un margen por pérdidas: divide n entre (1 − tasa de no respuesta esperada). Con un 10 % de pérdidas, planifica ⌈n / 0,90⌉ contactos.
Recomendaciones prácticas
- Si la potencia es baja (< 0,70), necesitas más muestra o un efecto más grande para que el estudio sea fiable.
- El contraste unilateral tiene más potencia que el bilateral para el mismo n, pero solo detecta cambios en una dirección y debe justificarse a priori.
- Cuando p₀ o p₁ son extremas (< 0,10 o > 0,90) con n pequeño, considera el test exacto binomial en lugar de la aproximación normal.
- Realiza un análisis de sensibilidad variando p₁ ±0,05 para valorar la robustez del diseño.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la potencia estadística? La probabilidad de rechazar H₀ cuando la hipótesis alternativa es verdadera, es decir, la probabilidad de detectar un efecto real.
- ¿Qué es el error de tipo II (β)? La probabilidad de no detectar un efecto que realmente existe. Es complementario a la potencia: β = 1 − potencia.
- ¿Qué muestran las regiones críticas del gráfico? Las zonas rojas son las regiones de rechazo bajo H₀ (área total = α). Las zonas verdes son el área de H₁ en esas mismas regiones, que representa la potencia (1−β).
- ¿Cuándo usar contraste bilateral frente a unilateral? Usa bilateral cuando no tienes dirección esperada a priori. El unilateral tiene más potencia pero solo detecta cambios en una dirección.