Calculadora
Selecciona el modo según lo que quieras calcular e introduce los parámetros.
Qué muestra esta pestaña: calcula la potencia (1−β) y el error de tipo II (β) para un tamaño muestral ya fijado. Elige este modo cuando quieras saber si un estudio existente o planificado con un n concreto tiene suficiente capacidad para detectar el efecto que te interesa.
Proporción de referencia bajo la hipótesis nula, con la que se compara el resultado observado.
Proporción real que esperas o quieres poder detectar. Cuanto mayor sea |p₁ − p₀|, más fácil es detectar el efecto.
Número de observaciones planeado o ya utilizado en el estudio. A mayor n, mayor potencia para el mismo efecto.
Riesgo de rechazar H₀ siendo cierta. El valor habitual es 0,05.
Usa bilateral si no tienes una dirección esperada a priori. El unilateral tiene más potencia pero solo detecta cambios en esa dirección.
Qué muestra esta pestaña: calcula el tamaño muestral mínimo necesario para alcanzar una potencia objetivo dada. Elige este modo cuando estés planificando un estudio y quieras saber cuántas observaciones recoger antes de empezar.
Proporción de referencia bajo la hipótesis nula, con la que se compara el resultado observado.
Proporción real que quieres poder detectar. Cuanto mayor sea |p₁ − p₀|, menor será el n necesario.
Riesgo de rechazar H₀ siendo cierta. El valor habitual es 0,05.
Probabilidad deseada de detectar el efecto si es real. En estudios confirmatorios se recomienda al menos 0,80; si el coste de un falso negativo es alto, usa 0,90.
Usa bilateral si no tienes una dirección esperada a priori. El unilateral necesita menos muestra pero solo detecta cambios en esa dirección.
Cómo leer el gráfico
El eje horizontal es el estadístico Z estandarizado \(Z = (\hat{p} - p_0)/SE_0\). Las dos curvas muestran su distribución en dos escenarios:
- Curva azul (H₀): distribución de Z si la proporción real fuera p₀, que sigue aproximadamente una N(0,1). Las zonas sombreadas en rojo son las regiones de rechazo; su área total es α.
- Curva naranja punteada (H₁): distribución de Z si la proporción real fuera p₁. Está desplazada según la magnitud del efecto. La zona verde —área bajo H₁ dentro de la región de rechazo— es la potencia (1−β). La zona sin sombrear bajo la curva naranja dentro de la región de aceptación es β, el error de tipo II.
Cuanto mayor es |p₁ − p₀| o el tamaño muestral n, más se separan las dos curvas y mayor es la potencia (zona verde más amplia).
Fundamento estadístico
Para el contraste \(H_0: p = p_0\) con aproximación normal, el estadístico es:
\( Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} \sim N(0,\,1) \text{ bajo } H_0 \)
Bajo la hipótesis alternativa \(H_1: p = p_1\), el mismo estadístico se distribuye aproximadamente como:
\( Z \sim N\!\left(\delta,\; \sigma_1^2\right) \quad \text{donde} \quad \delta = \frac{(p_1 - p_0)\sqrt{n}}{\sqrt{p_0(1-p_0)}},\quad \sigma_1 = \sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{p_0(1-p_0)}} \)
El parámetro \(\delta\) es la no-centralidad: cuántas desviaciones típicas (bajo H₀) se desplaza el estadístico cuando p = p₁. Cuanto mayor es \(|\delta|\), más fácil es distinguir H₁ de H₀.
Fórmulas de potencia
- Bilateral (\(H_a: p \neq p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; 1 - \Phi\!\left(\frac{z_{\alpha/2} - \delta}{\sigma_1}\right) + \Phi\!\left(\frac{-z_{\alpha/2} - \delta}{\sigma_1}\right) \)
- Unilateral superior (\(H_a: p > p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; 1 - \Phi\!\left(\frac{z_\alpha - \delta}{\sigma_1}\right) \)
- Unilateral inferior (\(H_a: p < p_0\)):
\( 1 - \beta \;=\; \Phi\!\left(\frac{-z_\alpha - \delta}{\sigma_1}\right) \)
Fórmula de tamaño muestral
Para obtener potencia \(1-\beta\) con nivel \(\alpha\) y efecto \(\Delta = |p_1 - p_0|\):
\( n \;=\; \left\lceil\left(\frac{z_{\alpha^*}\sqrt{p_0(1-p_0)} + z_{1-\beta}\sqrt{p_1(1-p_1)}}{\Delta}\right)^2\right\rceil \)
donde \(z_{\alpha^*} = z_{\alpha/2}\) en bilateral y \(z_{\alpha^*} = z_\alpha\) en unilateral.
Ejemplo resuelto
Una empresa quiere verificar si su tasa de satisfacción p₀ = 0,30 ha cambiado tras una campaña de mejora, esperando que suba a p₁ = 0,40. Se realiza el contraste bilateral H₀: p = 0,30 con α = 0,05 y una muestra de n = 172 encuestados.
Paso 1 — Error estándar bajo H₀:
\( SE_0 = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{0{,}30 \times 0{,}70 / 172} \approx 0{,}03494 \)
Paso 2 — No-centralidad δ:
\( \delta = \frac{p_1 - p_0}{SE_0} = \frac{0{,}10}{0{,}03494} \approx 2{,}862 \)
Paso 3 — Varianza relativa bajo H₁:
\( \sigma_1 = \sqrt{\frac{0{,}40 \times 0{,}60}{0{,}30 \times 0{,}70}} = \sqrt{\frac{0{,}24}{0{,}21}} \approx 1{,}069 \)
Paso 4 — Potencia bilateral (\(z_{\alpha/2} = 1{,}960\)):
\( 1-\beta = 1 - \Phi\!\left(\frac{1{,}960 - 2{,}862}{1{,}069}\right) + \Phi\!\left(\frac{-1{,}960 - 2{,}862}{1{,}069}\right) = 1 - \Phi(-0{,}844) + \Phi(-4{,}511) \approx 0{,}801 \)
Con n = 172 y p₁ = 0,40, la potencia es del ≈ 80,1 %. Si la proporción real ha subido a 0,40, el contraste lo detectará correctamente en aproximadamente 8 de cada 10 estudios. El error de tipo II es β ≈ 0,199: hay un 20 % de probabilidad de no detectar la mejora aunque sea real.
Cómo interpretar los resultados
Potencia (1−β)
Una potencia del 80 % significa que si la proporción real es p₁, el test rechazará H₀ el 80 % de las veces. En estudios confirmatorios se recomienda potencia ≥ 0,80; en decisiones donde el coste del falso negativo es alto, ≥ 0,90.
Error de tipo II (β)
Es el complementario: β = 1 − potencia. Con β = 0,20, uno de cada cinco estudios con el mismo diseño no detectaría el efecto aunque exista. Una potencia baja hace que los resultados negativos sean poco informativos: no rechazar H₀ no implica que el efecto sea nulo.
Tamaño muestral
El n calculado es el mínimo teórico con la aproximación normal. En la práctica, aplica un margen por pérdidas: divide n entre (1 − tasa de no respuesta esperada). Con un 10 % de pérdidas, planifica ⌈n / 0,90⌉ contactos.
Recomendaciones prácticas
- Si la potencia es baja (< 0,70), necesitas más muestra o un efecto más grande para que el estudio sea fiable.
- El contraste unilateral tiene más potencia que el bilateral para el mismo n, pero solo detecta cambios en una dirección y debe justificarse a priori.
- Cuando p₀ o p₁ son extremas (< 0,10 o > 0,90) con n pequeño, considera el test exacto binomial en lugar de la aproximación normal.
- Realiza un análisis de sensibilidad variando p₁ ±0,05 para valorar la robustez del diseño.
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la potencia estadística? La probabilidad de rechazar H₀ cuando la hipótesis alternativa es verdadera, es decir, la probabilidad de detectar un efecto real.
- ¿Qué es el error de tipo II (β)? La probabilidad de no detectar un efecto que realmente existe. Es complementario a la potencia: β = 1 − potencia.
- ¿Qué muestran las regiones críticas del gráfico? Las zonas rojas son las regiones de rechazo bajo H₀ (área total = α). Las zonas verdes son el área de H₁ en esas mismas regiones, que representa la potencia (1−β).
- ¿Cuándo usar contraste bilateral frente a unilateral? Usa bilateral cuando no tienes dirección esperada a priori. El unilateral tiene más potencia pero solo detecta cambios en una dirección.