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Distribución Bernoulli

Calcula probabilidad puntual, acumulada y cuantiles para una variable Bernoulli (0/1).

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Explicación

La distribución Bernoulli modela el resultado de un único experimento aleatorio con exactamente dos posibles resultados: éxito (X = 1) con probabilidad p, y fracaso (X = 0) con probabilidad 1 − p. Es la distribución discreta más elemental y sirve de bloque fundamental para construir otras distribuciones: la suma de n ensayos Bernoulli independientes con la misma p da lugar a la distribución binomial. Se aplica siempre que una observación sea de tipo sí/no: un cliente compra o no compra, un componente falla o no falla, un correo es spam o no lo es. Su media es p y su varianza es p(1 − p), que alcanza su máximo en p = 0,5.

Fórmula

\( P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k},\quad k\in\{0,1\} \)

Parámetros

  • p: probabilidad de éxito, con 0 ≤ p ≤ 1.
  • x: solo toma los valores 0 (fracaso) o 1 (éxito).

Ejemplo resuelto

Situación: Un sistema de detección de intrusiones analiza cada paquete de red de forma independiente. La probabilidad de que un paquete sea malicioso es \(p = 0{,}7\) en una red bajo ataque. Modelamos la clasificación de un único paquete como un ensayo Bernoulli con \(p = 0{,}7\).

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete sea malicioso, \(P(X = 1)\), y cuál es la probabilidad de que sea benigno, \(P(X = 0)\)?

Solución: Directamente de la definición de la distribución de Bernoulli: \[ P(X = 1) = p = 0{,}7 \qquad P(X = 0) = 1 - p = 0{,}3 \] Hay un 70 % de probabilidad de que el paquete sea malicioso y un 30 % de que sea benigno.

Pregunta 2: ¿Cuáles son la esperanza y la varianza de este ensayo individual?

Solución: Para la distribución de Bernoulli con parámetro \(p\): \[ E[X] = p = 0{,}7 \] \[ \text{Var}(X) = p(1-p) = 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}21 \] La esperanza \(E[X] = 0{,}7\) se interpreta como que, en promedio, el 70 % de los paquetes son maliciosos. La varianza \(\text{Var}(X) = 0{,}21\) mide la incertidumbre de un único ensayo; se maximiza cuando \(p = 0{,}5\).

Interpretación: La Bernoulli es el bloque fundamental de toda la estadística discreta: al repetir \(n\) ensayos independientes idénticos, la suma de los resultados sigue una distribución Binomial(\(n, p\)). En este caso, si se analizan 100 paquetes, el número total de maliciosos seguiría una Binomial(100, 0,7) con media \(100 \times 0{,}7 = 70\) paquetes.

Cómo interpretar el resultado

La distribución de Bernoulli es la más simple posible, con solo dos resultados: 0 y 1. La PMF solo tiene dos valores posibles: \( P(X = 1) = p \) y \( P(X = 0) = 1 - p \). En la gráfica, solo se muestran dos barras en 0 y en 1; sus alturas representan directamente las probabilidades de fracaso y éxito. No hay ambigüedad en la interpretación: si \( p = 0{,}08 \), hay un 8 % de probabilidad de éxito y un 92 % de fracaso en cada observación individual.

La CDF toma tres posibles valores según el punto evaluado: \( P(X \leq x) = 0 \) para \( x < 0 \), \( P(X \leq x) = 1 - p \) para \( 0 \leq x < 1 \), y \( P(X \leq x) = 1 \) para \( x \geq 1 \). En términos prácticos, \( P(X \leq 0) = 1 - p \) es la probabilidad de fracaso y \( P(X \leq 1) = 1 \) es la certeza de que el resultado estará en \{0, 1\}. La cola derecha \( P(X > 0) = p \) es simplemente la probabilidad de éxito. El área verde en la gráfica refleja la probabilidad acumulada del valor o rango indicado.

Dado que la distribución Bernoulli solo tiene dos puntos de masa, los percentiles son escalonados: cualquier valor de \( p \) entre 0 y \( 1-p \) devuelve el cuantil 0; cualquier valor entre \( 1-p \) y 1 devuelve el cuantil 1. La utilidad principal de esta calculadora es confirmar las probabilidades básicas de un experimento binario individual y, a partir de esas probabilidades, razonar sobre cuántas repeticiones se necesitarían antes de modelar el proceso con una binomial o una geométrica.

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Preguntas frecuentes

  • ¿Qué significa P(X ≤ x)? Es la probabilidad acumulada hasta el valor x.
  • ¿Qué diferencia hay entre cola izquierda y derecha? La cola izquierda acumula hasta x, la derecha mide desde x hacia valores mayores.
  • ¿Qué es un percentil? Es el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad acumulada concreta.

Referencia: Distribución de Bernoulli — Wikipedia