Explicación
La distribución de Poisson modela cuántas veces ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo, espacio o cualquier otra unidad cuando los eventos son independientes entre sí y ocurren con una tasa media \( \lambda \) estable. Es una distribución discreta con soporte en los enteros no negativos \( \{0, 1, 2, \ldots\} \). Su propiedad más distintiva es que la media y la varianza son iguales: ambas valen \( \lambda \). Si en tus datos la varianza supera claramente a la media (sobredispersión), la binomial negativa puede ser un modelo más adecuado.
Úsala cuando los eventos puedan ocurrir cualquier número de veces en el intervalo, no haya un límite superior fijo de ocurrencias (a diferencia de la binomial, que tiene \( n \) ensayos), los eventos sean raros en relación con las oportunidades potenciales y la tasa sea estable a lo largo del intervalo. Ejemplos típicos: llamadas telefónicas en un call center, clientes en una tienda, errores en una página impresa, emisiones radiactivas o fallos de un servidor en producción. La distribución de Poisson también es el límite de la binomial cuando \( n \) es grande, \( p \) es pequeño y \( \lambda = np \) es moderado.
Fórmula
\( P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \)
Parámetros
- λ (lambda): número esperado de eventos en el intervalo.
- k: conteo de eventos observado.
Ejemplo resuelto
Situación: Una centralita telefónica recibe en promedio \(\lambda = 3\) llamadas por minuto. El número de llamadas en un minuto cualquiera sigue una distribución de Poisson con \(\lambda = 3\).
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto no llegue ninguna llamada, \(P(X = 0)\)?
Solución: Aplicamos la función de masa de Poisson con \(k = 0\): \[ P(X = 0) = \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} = e^{-3} \approx 0{,}0498 \] Hay aproximadamente un 4,98 % de probabilidad de que un minuto transcurra sin ninguna llamada.
Pregunta 2: ¿Cuál es la probabilidad de recibir como máximo 2 llamadas en un minuto, \(P(X \leq 2)\)?
Solución: Sumamos \(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)\): \[ P(X=1) = e^{-3}\cdot 3 \approx 0{,}1494, \quad P(X=2) = e^{-3}\cdot\frac{9}{2} \approx 0{,}2240 \] \[ P(X \leq 2) = 0{,}0498 + 0{,}1494 + 0{,}2240 \approx 0{,}4232 \] Hay aproximadamente un 42,32 % de probabilidad de recibir 2 o menos llamadas en un minuto.
Interpretación: Con una media de 3 llamadas por minuto, hay más de un 57 % de probabilidad de recibir 3 o más llamadas, lo que refleja que el valor medio no es el más probable para una Poisson con \(\lambda\) no entero. Estos cálculos permiten dimensionar la capacidad de atención necesaria para distintos niveles de servicio.