Calculadora

Distribución Beta

Calcula densidad, acumuladas y cuantiles de la distribución beta en el intervalo [0,1].

Ver todas las distribuciones

Configuración

Calculadora enfocada en esta distribución.

Resultado y visualización

Calcula PDF/PMF, CDF y percentiles al instante.

Resultado pendiente…

Explicación

La distribución beta es una distribución continua definida en el intervalo [0, 1], lo que la hace ideal para modelar proporciones, tasas y probabilidades desconocidas. Su forma depende de dos parámetros de forma positivos α y β: cuando ambos son mayores que 1 la distribución tiene forma de campana (simétrica si α = β, sesgada si no); cuando α < 1 o β < 1 la densidad crece hacia los extremos del intervalo. En estadística bayesiana es la distribución a priori conjugada de la binomial, lo que significa que si usas una beta como creencia inicial sobre una probabilidad p, después de observar datos binomiales la distribución posterior sigue siendo una beta con parámetros actualizados. Su media es α / (α + β) y su varianza es αβ / [(α + β)²(α + β + 1)].

Fórmula

\( f(x;\alpha,\beta)=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)},\quad 0\le x\le 1 \)

Parámetros

  • α (alfa): parámetro de forma que controla el comportamiento cerca de x = 0. Debe ser α > 0.
  • β (beta): parámetro de forma que controla el comportamiento cerca de x = 1. Debe ser β > 0.
  • x: valor de la proporción o probabilidad, en el intervalo [0, 1].

Ejemplo resuelto

Situación: En un ensayo de control de calidad, la proporción de unidades conformes \(X\) se modela con una distribución Beta con parámetros \(\alpha = 2\) y \(\beta = 5\). Esta elección refleja una creencia inicial moderada: la mayor densidad está en valores bajos de \(X\), con media \(\alpha/(\alpha+\beta) = 2/7 \approx 0{,}286\).

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que la tasa de conformidad sea 0,3 o menor, \(P(X \leq 0{,}3)\)?

Solución: Evaluamos la CDF de la Beta(2, 5) en \(x = 0{,}3\) mediante la función beta incompleta regularizada \(I_{0{,}3}(2,5)\): \[ P(X \leq 0{,}3) = I_{0{,}3}(2,\,5) \approx 0{,}580 \] Hay aproximadamente un 58 % de probabilidad de que la tasa de conformidad no supere el 30 %.

Pregunta 2: ¿Cuál es la moda de la distribución, es decir, el valor más probable?

Solución: Para \(\alpha > 1\) y \(\beta > 1\), la moda de la Beta(\(\alpha, \beta\)) es: \[ \text{moda} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2} = \frac{2 - 1}{2 + 5 - 2} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \] El valor más probable de la proporción de conformidad bajo este modelo es 0,2 (20 %).

Interpretación: La moda de 0,2 está por debajo de la media de 0,286, lo que refleja la asimetría derecha de esta distribución beta. Si se observan más datos, los parámetros \(\alpha\) y \(\beta\) se actualizan (análisis bayesiano) y la distribución se estrecha hacia el verdadero valor de la tasa.

Cómo interpretar el resultado

La calculadora ofrece tres tipos de salida. La PDF, \( f(x) \), da la densidad de probabilidad en un punto \( x \in [0, 1] \): refleja cuán verosímil es ese valor de la proporción o probabilidad bajo el modelo beta con los parámetros \( \alpha \) y \( \beta \) elegidos. Un pico estrecho y alto indica mucha concentración (alta certeza), mientras que una curva plana (como con \( \alpha = \beta = 1 \)) representa incertidumbre total. En la gráfica, el área verde corresponde a la probabilidad de que la variable se encuentre en el rango seleccionado del intervalo \([0, 1]\).

La CDF, \( P(X \leq x) \), da la probabilidad de que la proporción o tasa desconocida sea menor o igual que \( x \). En el contexto bayesiano, si \( X \) es la tasa de conversión real de una campaña, \( P(X \leq 0{,}10) = 0{,}03 \) significa que solo hay un 3 % de probabilidad de que la tasa real sea inferior al 10 %, dado lo observado. La cola derecha \( P(X > x) \) mide la probabilidad de que la proporción supere el umbral \( x \), y la diferencia entre dos CDF da la probabilidad de un rango específico.

El resultado de percentil o cuantil devuelve el valor \( x \) tal que \( P(X \leq x) = p \). Los percentiles 2,5 y 97,5 forman el intervalo de credibilidad bayesiano del 95 %: hay un 95 % de probabilidad de que el parámetro real esté dentro de ese rango. En pruebas A/B y análisis bayesiano, este intervalo es el análogo bayesiano del intervalo de confianza frecuentista y es directamente interpretable como una declaración probabilística sobre el valor desconocido.

Calculadoras relacionadas

Preguntas frecuentes

  • ¿Qué significa P(X ≤ x)? Es la probabilidad acumulada hasta el valor x.
  • ¿Qué diferencia hay entre cola izquierda y derecha? La cola izquierda acumula hasta x, la derecha mide desde x hacia valores mayores.
  • ¿Qué es un percentil? Es el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad acumulada concreta.

Referencia: Distribución beta — Wikipedia