Explicación
La distribución gamma es una distribución continua definida para valores positivos que generaliza la distribución exponencial. Mientras que la exponencial modela el tiempo hasta el primer evento de un proceso de Poisson, la gamma con parámetro de forma k modela el tiempo hasta que ocurren k eventos consecutivos. Esto la hace ideal para tiempos de espera acumulados, severidades de siniestros en seguros y duraciones de procesos con múltiples etapas. Cuando k es un entero positivo recibe el nombre de distribución de Erlang. Su media es k·θ y su varianza es k·θ², por lo que aumentar θ desplaza la distribución hacia la derecha y aumentar k reduce la asimetría, acercándola a una distribución normal por el teorema central del límite.
Fórmula
\( f(x;k,\theta)=\frac{x^{k-1}e^{-x/\theta}}{\Gamma(k)\theta^k},\quad x>0 \)
Parámetros
- k: parámetro de forma (k > 0). Valores enteros corresponden a la distribución de Erlang.
- θ (theta): parámetro de escala (θ > 0). Determina la dispersión y la media junto con k.
- x: valor positivo donde se evalúa la distribución (x > 0).
Ejemplo resuelto
Situación: El tiempo de reparación de un equipo industrial se modela con una distribución Gamma con parámetro de forma \(\alpha = 3\) y parámetro de escala \(\beta = 2\) horas. Esto equivale a suponer que la reparación requiere completar 3 etapas independientes, cada una con duración media de 2 horas.
Pregunta 1: ¿Cuál es el tiempo medio de reparación y cuál es la probabilidad de terminar en 8 horas o menos, \(P(X \leq 8)\)?
Solución: La media de la Gamma(\(\alpha, \beta\)) es: \[ E[X] = \alpha \cdot \beta = 3 \times 2 = 6 \text{ horas} \] Para calcular \(P(X \leq 8)\) usamos la función gamma incompleta regularizada \(P(X \leq 8) = \Gamma_{\text{reg}}(3;\, 8/2) = \Gamma_{\text{reg}}(3;\, 4)\). Evaluando numéricamente: \[ P(X \leq 8) \approx 0{,}714 \] Hay aproximadamente un 71,4 % de probabilidad de completar la reparación en 8 horas o menos.
Pregunta 2: ¿Cuál es la varianza y qué significa respecto a la incertidumbre del tiempo de reparación?
Solución: La varianza de la Gamma es: \[ \text{Var}(X) = \alpha \cdot \beta^2 = 3 \times 4 = 12 \text{ h}^2 \implies \sigma = \sqrt{12} \approx 3{,}46 \text{ h} \] La desviación típica de 3,46 horas representa más del 57 % de la media, lo que refleja una variabilidad considerable en los tiempos de reparación.
Interpretación: Con media de 6 horas y \(P(X \leq 8) \approx 0{,}714\), el 28,6 % de las reparaciones se prolongan más de 8 horas. Si el objetivo de nivel de servicio es completar el 90 % de las reparaciones a tiempo, se puede usar el percentil 90 de la Gamma(3, 2) como plazo máximo garantizado.