Explicación
La distribución geométrica describe cuántos intentos independientes se necesitan hasta obtener el primer éxito, cuando cada intento tiene la misma probabilidad de éxito \( p \). Es una distribución discreta con soporte en los enteros positivos \( k = 1, 2, 3, \ldots \) y es el caso particular de la binomial negativa con \( r = 1 \). Su media es \( 1/p \) y su varianza \( (1-p)/p^2 \); con una probabilidad de éxito pequeña, la media es alta y la distribución tiene una cola derecha muy larga.
La propiedad de falta de memoria es su característica más importante: dado que ya se han realizado \( m \) intentos fallidos, la distribución del número de intentos adicionales hasta el primer éxito es exactamente la misma que al principio. Úsala cuando tengas procesos de tipo “repetir hasta lograrlo”: prospección comercial, ensayos de calidad hasta el primer defecto, intentos de conexión en redes, o cualquier situación donde los intentos sean independientes entre sí y tengan una probabilidad de éxito constante.
Fórmula
\( P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,3,\dots \)
Parámetros
- p: probabilidad de éxito en cada intento.
- k: número de intento en el que ocurre el primer éxito.
Ejemplo resuelto
Situación: Un técnico de soporte técnico resuelve cada incidencia con una probabilidad de \(p = 0{,}2\) en el primer intento. Los intentos son independientes. Sea \(X\) el número del intento en que se resuelve por primera vez la incidencia.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que la incidencia se resuelva exactamente en el tercer intento, \(P(X = 3)\)?
Solución: Aplicamos la PMF de la geométrica, donde los dos primeros intentos fallan y el tercero tiene éxito: \[ P(X = 3) = (1 - p)^{3-1} \cdot p = (0{,}8)^2 \times 0{,}2 = 0{,}64 \times 0{,}2 = 0{,}128 \] Hay un 12,8 % de probabilidad de resolver la incidencia exactamente en el tercer intento.
Pregunta 2: ¿Cuántos intentos se necesitan en promedio, \(E[X]\)?
Solución: La media de la distribución geométrica es: \[ E[X] = \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}2} = 5 \text{ intentos} \] Sin embargo, la mediana (percentil 50) es menor: \(P(X \leq k) \geq 0{,}5 \Rightarrow 1 - 0{,}8^k \geq 0{,}5 \Rightarrow k \geq \lceil\ln(0{,}5)/\ln(0{,}8)\rceil = 4\). La mediana es 4 intentos.
Interpretación: Con una tasa de resolución del 20 %, la mitad de las incidencias se resuelven en 4 intentos o menos, pero la media se eleva a 5 por la cola derecha larga. Gracias a la propiedad de falta de memoria, si ya han fallado 3 intentos, la distribución del número de intentos adicionales necesarios es idéntica a la distribución original.