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Distribución Log-normal

Calcula densidad, acumuladas y cuantiles para la distribución log-normal de variables positivas.

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Explicación

Una variable aleatoria X sigue una distribución log-normal si su logaritmo natural ln(X) sigue una distribución normal. Esto ocurre de forma natural en procesos donde el resultado es el producto de muchos factores aleatorios independientes, igual que la suma de factores lleva a la normal por el teorema central del límite. La distribución es siempre positiva y presenta una cola derecha larga, lo que la hace adecuada para modelar ingresos, precios de activos financieros, tiempos de reparación, tamaños de partículas y duraciones de tareas. Atención: μ y σ son los parámetros de ln(X), no de X directamente. La media de X es exp(μ + σ²/2) y su varianza es [exp(σ²) − 1]·exp(2μ + σ²).

Fórmula

\( f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad x>0 \)

Parámetros

  • μ (mu): media del logaritmo natural de la variable. Puede ser cualquier número real.
  • σ (sigma): desviación estándar del logaritmo natural. Debe ser σ > 0.
  • x: valor positivo de la variable original (x > 0).

Ejemplo resuelto

Situación: El tiempo de resolución de incidencias en un sistema informático (en minutos) sigue una distribución log-normal con parámetros \(\mu = 2\) y \(\sigma = 0{,}5\) (en logaritmo natural). Estos parámetros describen el comportamiento del logaritmo del tiempo, no del tiempo directamente.

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que una incidencia se resuelva en 10 minutos o menos, \(P(X \leq 10)\)?

Solución: Estandarizamos usando la relación \(\ln(X) \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\): \[ P(X \leq 10) = P\!\left(Z \leq \frac{\ln 10 - 2}{0{,}5}\right) = P\!\left(Z \leq \frac{2{,}3026 - 2}{0{,}5}\right) = P(Z \leq 0{,}605) \approx 0{,}727 \] Hay aproximadamente un 72,7 % de probabilidad de resolver la incidencia en 10 minutos o menos.

Pregunta 2: ¿Cuál es la mediana del tiempo de resolución?

Solución: La mediana de la log-normal es: \[ \text{mediana} = e^\mu = e^2 \approx 7{,}389 \text{ minutos} \] La mediana es 7,39 minutos. La media aritmética, en cambio, es mayor: \[ E[X] = e^{\mu + \sigma^2/2} = e^{2 + 0{,}125} = e^{2{,}125} \approx 8{,}37 \text{ minutos} \]

Interpretación: La mediana (7,39 min) es inferior a la media (8,37 min), lo que refleja la asimetría derecha típica de la log-normal: la mayoría de las incidencias se resuelven relativamente rápido, pero algunas se prolongan mucho y elevan la media. Para dimensionar el soporte técnico, es preferible usar percentiles altos (p. ej., percentil 90) como objetivo de nivel de servicio.

Cómo interpretar el resultado

La calculadora ofrece tres tipos de salida. La PDF, \( f(x) \), da la densidad de probabilidad en el punto \( x > 0 \). La distribución log-normal es siempre positiva y presenta una cola derecha larga: la mayoría de los valores se concentran relativamente cerca del origen, pero hay probabilidades no despreciables de valores muy grandes. El pico de la curva (la moda) está en \( e^{\mu - \sigma^2} \), que es menor que la mediana \( e^\mu \) y que la media \( e^{\mu + \sigma^2/2} \); esta desigualdad es típica de distribuciones con sesgo positivo. En la gráfica, el área verde representa la probabilidad del rango seleccionado; el eje horizontal parte de cero.

La CDF, \( P(X \leq x) \), acumula la probabilidad hasta el valor \( x \) y es equivalente a la CDF de la normal estándar evaluada en \( (\ln x - \mu)/\sigma \). Por ejemplo, si los ingresos siguen una log-normal con \( \mu = 10{,}8 \) y \( \sigma = 0{,}4 \), entonces \( P(X \leq 40\,000) \) da la proporción de la población que gana 40 000 € o menos. La cola derecha \( P(X > x) \) mide la fracción de la distribución con valores extremadamente altos, lo que es relevante en análisis de riesgo y finanzas donde los eventos de cola son los más costosos.

El resultado de percentil o cuantil devuelve \( x = e^{\mu + z_p \sigma} \), donde \( z_p \) es el cuantil de la normal estándar para la probabilidad \( p \). La mediana (percentil 50) es exactamente \( e^\mu \), siempre inferior a la media aritmética. El percentil 90 o 95 es especialmente útil en análisis de valor en riesgo (VaR), tamaños de buffer y dimensionamiento de sistemas donde los valores extremos son los que determinan el diseño.

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Preguntas frecuentes

  • ¿Qué significa P(X ≤ x)? Es la probabilidad acumulada hasta el valor x.
  • ¿Qué diferencia hay entre cola izquierda y derecha? La cola izquierda acumula hasta x, la derecha mide desde x hacia valores mayores.
  • ¿Qué es un percentil? Es el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad acumulada concreta.

Referencia: Distribución log-normal — Wikipedia