Explicación
La distribución binomial negativa modela el número de fracasos que se acumulan antes de alcanzar un número fijo de éxitos \( r \) en una secuencia de ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito \( p \). Es una distribución discreta que generaliza la distribución geométrica: cuando \( r = 1 \) ambas son equivalentes. Su media es \( r(1-p)/p \) y su varianza \( r(1-p)/p^2 \), siempre mayor que la media, lo que la hace útil también para modelar conteos sobredispersos donde la varianza supera a la media.
Úsala cuando quieras responder preguntas del tipo "¿cuántos intentos fallidos habrá antes de conseguir \( r \) éxitos?" o, en su parametrización alternativa, "¿cuántos ensayos en total hacen falta?". Es habitual en gestión de proyectos (intentos hasta cerrar contratos), ensayos clínicos (reclutar \( r \) pacientes que respondan), ciencia de datos (modelado de conteos con sobredispersión) y análisis de fiabilidad. Si los datos de conteo muestran varianza mayor que la media (sobredispersión respecto a Poisson), la binomial negativa suele ajustar mejor.
Fórmula
$$ P(X=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^k p^r $$
Parámetros
- r: número de éxitos deseados.
- p: probabilidad de éxito en cada ensayo.
- k: número de fracasos observados antes de alcanzar los r éxitos.
Ejemplo resuelto
Situación: Un investigador realiza ensayos clínicos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito de \(p = 0{,}4\). Quiere saber cuántos fracasos acumula antes de conseguir exactamente \(r = 3\) éxitos. Sea \(X\) el número de fracasos antes del tercer éxito.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 5 fracasos antes del tercer éxito, \(P(X = 5)\)?
Solución: Usamos la PMF de la binomial negativa. El tercer éxito ocurre en el ensayo \(r + k = 3 + 5 = 8\), con los 2 éxitos restantes distribuidos en los 7 primeros ensayos: \[ P(X = 5) = \binom{r + k - 1}{k}\,p^r\,(1-p)^k = \binom{7}{5}(0{,}4)^3(0{,}6)^5 \] \[ = 21 \times 0{,}064 \times 0{,}07776 \approx 0{,}1045 \] Hay aproximadamente un 10,45 % de probabilidad de acumular exactamente 5 fracasos antes del tercer éxito.
Pregunta 2: ¿Cuál es el número esperado de fracasos antes del tercer éxito, \(E[X]\)?
Solución: La media de la binomial negativa es: \[ E[X] = \frac{r(1-p)}{p} = \frac{3 \times 0{,}6}{0{,}4} = \frac{1{,}8}{0{,}4} = 4{,}5 \] En promedio se esperan 4,5 fracasos antes de completar 3 éxitos, lo que implica un total esperado de \(3 + 4{,}5 = 7{,}5\) ensayos.
Interpretación: Con una tasa de éxito del 40 %, conseguir 3 éxitos requiere en promedio 7,5 intentos. Conocer esta distribución permite planificar recursos y establecer intervalos de confianza para el número total de ensayos necesarios.