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Distribución Uniforme

Calcula densidad, acumuladas y cuantiles en una distribución uniforme con límites a y b.

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Explicación

La distribución uniforme continua asigna exactamente la misma densidad de probabilidad a todos los valores dentro del intervalo [a, b] y probabilidad cero fuera de él. Es el modelo que expresa ignorancia total sobre qué valor es más probable dentro de ese rango: si solo sabes que algo ocurrirá entre a y b pero no tienes razón para preferir ningún valor concreto, la uniforme es la elección natural. Se usa como distribución base en generadores de números aleatorios, en simulación Monte Carlo (donde se transforma mediante la inversa de la CDF para obtener otras distribuciones), y en modelos de optimización robusta. Su media es (a + b) / 2, su varianza es (b − a)² / 12 y su función de distribución acumulada es lineal: F(x) = (x − a) / (b − a).

Fórmula

\( f(x)=\frac{1}{b-a},\quad a\le x\le b \)

Parámetros

  • a: límite inferior del intervalo. Puede ser cualquier número real.
  • b: límite superior del intervalo. Debe cumplir b > a.
  • x: valor donde se evalúa la PDF o la CDF, dentro del intervalo [a, b].

Ejemplo resuelto

Situación: La temperatura de una sala de servidores se controla de forma que oscila de manera uniforme entre \(a = 2\) °C y \(b = 10\) °C. Cualquier temperatura dentro de ese rango es igualmente probable. Sea \(X \sim \text{Uniforme}(2, 10)\).

Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté entre 4 °C y 7 °C, es decir, \(P(4 \leq X \leq 7)\)?

Solución: Para la uniforme, la probabilidad de un intervalo es proporcional a su longitud relativa: \[ P(4 \leq X \leq 7) = \frac{7 - 4}{10 - 2} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \] Hay un 37,5 % de probabilidad de que la temperatura se encuentre en ese rango.

Pregunta 2: ¿Cuál es el percentil 75? Es decir, ¿qué temperatura \(x\) cumple \(P(X \leq x) = 0{,}75\)?

Solución: Usamos la fórmula cerrada del cuantil de la uniforme: \[ x = a + p \cdot (b - a) = 2 + 0{,}75 \times (10 - 2) = 2 + 0{,}75 \times 8 = 2 + 6 = 8 \text{ °C} \] El percentil 75 es 8 °C: el 75 % del tiempo la temperatura no supera los 8 °C.

Interpretación: La media de la distribución es \((a + b)/2 = 6\) °C. La uniforme es la distribución de máxima incertidumbre dentro de un intervalo fijo: todos los valores son igualmente plausibles, sin ningún sesgo hacia el centro ni hacia los extremos.

Cómo interpretar el resultado

La calculadora ofrece tres tipos de salida. La PDF vale exactamente \( f(x) = \frac{1}{b-a} \) para cualquier \( x \in [a, b] \) y cero fuera. Esto significa que la densidad es constante: ningún subintervalo de la misma longitud es más probable que otro. Un valor de PDF de, por ejemplo, 0,05 con \( a = 0 \) y \( b = 20 \) no implica que la probabilidad en ese punto sea 0,05, sino que cualquier intervalo de longitud 1 dentro de \([0, 20]\) tiene exactamente el 5 % de probabilidad. En la gráfica, la curva es una línea horizontal sobre el intervalo \([a, b]\); el área verde representa la fracción del intervalo que cae en el rango seleccionado.

La CDF, \( P(X \leq x) = \frac{x - a}{b - a} \), crece linealmente desde 0 hasta 1. Esto la hace especialmente intuitiva: \( P(X \leq x) \) es directamente la fracción del intervalo total que queda a la izquierda de \( x \). Si \( a = 0 \), \( b = 20 \) y \( x = 5 \), entonces \( P(X \leq 5) = 0{,}25 \): el 25 % de los valores posibles caen por debajo de 5. La cola derecha \( P(X > x) = \frac{b - x}{b - a} \) es la fracción restante del intervalo.

El resultado de percentil o cuantil tiene una fórmula cerrada sencilla: \( x = a + p \cdot (b - a) \). El percentil 75 es el punto que se encuentra al 75 % del recorrido del intervalo desde \( a \) hasta \( b \). En generación de números aleatorios y en simulación Monte Carlo, el cuantil de la uniforme se usa como punto de partida para generar variables de otras distribuciones mediante la transformada inversa.

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Preguntas frecuentes

  • ¿Qué significa P(X ≤ x)? Es la probabilidad acumulada hasta el valor x.
  • ¿Qué diferencia hay entre cola izquierda y derecha? La cola izquierda acumula hasta x, la derecha mide desde x hacia valores mayores.
  • ¿Qué es un percentil? Es el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad acumulada concreta.

Referencia: Distribución uniforme continua — Wikipedia