Explicación
La distribución Weibull es una distribución continua positiva ampliamente utilizada en análisis de fiabilidad, ingeniería de mantenimiento y modelado de vida útil de componentes. Su versatilidad radica en el parámetro de forma k: si k < 1 la tasa de fallo decrece con el tiempo (fallos tempranos, típicos de defectos de fabricación); si k = 1 la tasa es constante y la distribución coincide con la exponencial (fallos aleatorios); si k > 1 la tasa de fallo crece con el tiempo (desgaste, envejecimiento). El parámetro λ es la vida característica: el valor de x en que la función de supervivencia vale e⁻¹ ≈ 36,8 %. Su media es λ·Γ(1 + 1/k) y su varianza es λ²·[Γ(1 + 2/k) − Γ²(1 + 1/k)].
Fórmula
\( f(x;k,\lambda)=\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k},\quad x\ge 0 \)
Parámetros
- k: parámetro de forma (k > 0). Controla el tipo de tasa de fallo: decreciente (k < 1), constante (k = 1) o creciente (k > 1).
- λ (lambda): parámetro de escala o vida característica (λ > 0).
- x: tiempo de vida o tiempo hasta el fallo (x ≥ 0).
Ejemplo resuelto
Situación: La vida útil de unas bombillas LED se modela con una distribución Weibull con parámetro de forma \(k = 2\) (desgaste creciente con el tiempo) y parámetro de escala \(\lambda = 5\) (en miles de horas). Se desea evaluar la fiabilidad de las bombillas.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que una bombilla falle antes de las 4000 horas, \(P(X \leq 4)\)?
Solución: Aplicamos la CDF de la Weibull: \[ P(X \leq 4) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k} = 1 - e^{-(4/5)^2} = 1 - e^{-0{,}64} \approx 1 - 0{,}5273 \approx 0{,}4727 \] Hay aproximadamente un 47,27 % de probabilidad de que la bombilla falle antes de las 4000 horas.
Pregunta 2: ¿Cuál es la vida media esperada de las bombillas?
Solución: La media de la Weibull(\(k, \lambda\)) es: \[ E[X] = \lambda \cdot \Gamma\!\left(1 + \frac{1}{k}\right) = 5 \cdot \Gamma(1{,}5) = 5 \times 0{,}8862 \approx 4{,}431 \text{ miles de horas} \] La vida media esperada es aproximadamente 4431 horas.
Interpretación: Con \(k = 2 > 1\), la tasa de fallo es creciente, lo que indica desgaste progresivo. El percentil 63,2 coincide exactamente con \(\lambda = 5\) miles de horas: el 63,2 % de las bombillas habrán fallado antes de las 5000 horas. Esto permite planificar sustituciones preventivas antes de esa vida característica para maximizar la disponibilidad del sistema.