Explicación
La distribución exponencial modela el tiempo de espera hasta el próximo evento cuando esos eventos ocurren de forma independiente y a tasa constante \( \lambda \). Es la contraparte continua de la distribución geométrica y el complemento directo de la distribución de Poisson: si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una Poisson(\( \lambda \)), el tiempo entre eventos consecutivos sigue una Exponencial(\( \lambda \)). Su media es \( 1/\lambda \) y su mediana \( \ln(2)/\lambda \), siempre menor que la media por la asimetría positiva de la distribución.
La propiedad de falta de memoria es la característica que la define matemáticamente: \( P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) \). Esto significa que un componente que ya lleva funcionando \( s \) horas tiene la misma probabilidad de fallar en las próximas \( t \) horas que uno nuevo. Úsala cuando el proceso sea genuinamente sin memoria: intervalos entre llamadas telefónicas, tiempo hasta el siguiente accidente en un tramo de carretera, tiempo de vida de componentes electrónicos con tasa de fallo constante o tiempos de servicio en colas.
Fórmula
\( f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\geq 0 \)
Parámetros
- λ (lambda): tasa media de ocurrencia por unidad de tiempo (o espacio).
- x: tiempo de espera hasta que ocurre el evento.
Ejemplo resuelto
Situación: Un componente electrónico falla a una tasa media de \(\lambda = 0{,}5\) fallos por hora. El tiempo hasta el primer fallo sigue una distribución exponencial con parámetro \(\lambda = 0{,}5\), es decir, con un tiempo medio de vida de \(1/\lambda = 2\) horas.
Pregunta 1: ¿Cuál es la probabilidad de que el componente falle antes de 3 horas, \(P(X \leq 3)\)?
Solución: Aplicamos la CDF de la exponencial: \[ P(X \leq 3) = 1 - e^{-\lambda \cdot 3} = 1 - e^{-0{,}5 \times 3} = 1 - e^{-1{,}5} \approx 1 - 0{,}2231 \approx 0{,}7769 \] Hay aproximadamente un 77,69 % de probabilidad de que el componente falle dentro de las primeras 3 horas.
Pregunta 2: ¿Cuál es el tiempo mediano de vida, es decir, el tiempo \(t\) tal que \(P(X \leq t) = 0{,}5\)?
Solución: Invertimos la CDF igualando a 0,5: \[ 1 - e^{-0{,}5\,t} = 0{,}5 \implies e^{-0{,}5\,t} = 0{,}5 \implies t = \frac{\ln 2}{0{,}5} = 2\ln 2 \approx 1{,}386 \text{ h} \] La mediana de vida es aproximadamente 1,386 horas, inferior a la media de 2 horas, lo que refleja la asimetría derecha de la distribución exponencial.
Interpretación: La mitad de los componentes fallan antes de 1,386 horas, pero la media se eleva a 2 horas debido a la cola larga de la distribución. En mantenimiento preventivo, esto indica que planificar sustituciones en torno a la mediana, y no a la media, garantiza cubrir al 50 % de los fallos más tempranos.