¿Cómo se usa la tabla de la distribución binomial?

Fija n y p; la fila es el número de éxitos k. Cada celda da P(X = k) o la acumulada P(X ≤ k) según la pestaña seleccionada.

¿Qué diferencia hay entre P(X = k) y P(X ≤ k)?

P(X = k) es la probabilidad de exactamente k éxitos; P(X ≤ k) es la acumulada, la suma de las probabilidades desde 0 hasta k.

¿Cuándo aproximar la tabla binomial por la normal o la de Poisson?

Con n grande y p moderado, la binomial se aproxima por la tabla normal; con n grande y p pequeño (λ = n·p moderado), por la de Poisson.

Tabla de la distribución Binomial (acumulada)

Cómo leer la tabla: cada celda muestra P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). El parámetro n es el número de ensayos y puedes elegirlo en el desplegable. Las filas son los valores de k (0, 1, …, n); las columnas son los valores de p. Usa los botones para cambiar el rango de p.

n (ensayos):

Haz clic en una celda para leer el valor.

P(X = k) — p de 0.05 a 0.50

k	p = 0.05	p = 0.10	p = 0.15	p = 0.20	p = 0.25	p = 0.30	p = 0.35	p = 0.40	p = 0.45	p = 0.50
0	0.5987	0.3487	0.1969	0.1074	0.0563	0.0282	0.0135	0.0060	0.0025	0.0010
1	0.3151	0.3874	0.3474	0.2684	0.1877	0.1211	0.0725	0.0403	0.0207	0.0098
2	0.0746	0.1937	0.2759	0.3020	0.2816	0.2335	0.1757	0.1209	0.0763	0.0439
3	0.0105	0.0574	0.1298	0.2013	0.2503	0.2668	0.2522	0.2150	0.1665	0.1172
4	0.0010	0.0112	0.0401	0.0881	0.1460	0.2001	0.2377	0.2508	0.2384	0.2051
5	0.0001	0.0015	0.0085	0.0264	0.0584	0.1029	0.1536	0.2007	0.2340	0.2461
6	0.0000	0.0001	0.0012	0.0055	0.0162	0.0368	0.0689	0.1115	0.1596	0.2051
7	0.0000	0.0000	0.0001	0.0008	0.0031	0.0090	0.0212	0.0425	0.0746	0.1172
8	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0004	0.0014	0.0043	0.0106	0.0229	0.0439
9	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0005	0.0016	0.0042	0.0098
10	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0003	0.0010

k	p = 0.55	p = 0.60	p = 0.65	p = 0.70	p = 0.75	p = 0.80	p = 0.85	p = 0.90	p = 0.95
0	0.0003	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
1	0.0042	0.0016	0.0005	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
2	0.0229	0.0106	0.0043	0.0014	0.0004	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000
3	0.0746	0.0425	0.0212	0.0090	0.0031	0.0008	0.0001	0.0000	0.0000
4	0.1596	0.1115	0.0689	0.0368	0.0162	0.0055	0.0012	0.0001	0.0000
5	0.2340	0.2007	0.1536	0.1029	0.0584	0.0264	0.0085	0.0015	0.0001
6	0.2384	0.2508	0.2377	0.2001	0.1460	0.0881	0.0401	0.0112	0.0010
7	0.1665	0.2150	0.2522	0.2668	0.2503	0.2013	0.1298	0.0574	0.0105
8	0.0763	0.1209	0.1757	0.2335	0.2816	0.3020	0.2759	0.1937	0.0746
9	0.0207	0.0403	0.0725	0.1211	0.1877	0.2684	0.3474	0.3874	0.3151
10	0.0025	0.0060	0.0135	0.0282	0.0563	0.1074	0.1969	0.3487	0.5987

Cómo leer la tabla: cada celda muestra P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n,i)·p^i·(1−p)^(n−i). El parámetro n es el número de ensayos y puedes elegirlo en el desplegable; las filas indican k y las columnas, p. Para calcular P(X > k) usa el complemento: 1 − P(X ≤ k).

n (ensayos):

Haz clic en una celda para leer el valor.

P(X ≤ k) — p de 0.05 a 0.50

k	p = 0.05	p = 0.10	p = 0.15	p = 0.20	p = 0.25	p = 0.30	p = 0.35	p = 0.40	p = 0.45	p = 0.50
0	0.5987	0.3487	0.1969	0.1074	0.0563	0.0282	0.0135	0.0060	0.0025	0.0010
1	0.9139	0.7361	0.5443	0.3758	0.2440	0.1493	0.0860	0.0464	0.0233	0.0107
2	0.9885	0.9298	0.8202	0.6778	0.5256	0.3828	0.2616	0.1673	0.0996	0.0547
3	0.9990	0.9872	0.9500	0.8791	0.7759	0.6496	0.5138	0.3823	0.2660	0.1719
4	0.9999	0.9984	0.9901	0.9672	0.9219	0.8497	0.7515	0.6331	0.5044	0.3770
5	1.0000	0.9999	0.9986	0.9936	0.9803	0.9527	0.9051	0.8338	0.7384	0.6230
6	1.0000	1.0000	0.9999	0.9991	0.9965	0.9894	0.9740	0.9452	0.8980	0.8281
7	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9996	0.9984	0.9952	0.9877	0.9726	0.9453
8	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9995	0.9983	0.9955	0.9893
9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.9999	0.9997	0.9990
10	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

k	p = 0.55	p = 0.60	p = 0.65	p = 0.70	p = 0.75	p = 0.80	p = 0.85	p = 0.90	p = 0.95
0	0.0003	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
1	0.0045	0.0017	0.0005	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
2	0.0274	0.0123	0.0048	0.0016	0.0004	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000
3	0.1020	0.0548	0.0260	0.0106	0.0035	0.0009	0.0001	0.0000	0.0000
4	0.2616	0.1662	0.0949	0.0473	0.0197	0.0064	0.0014	0.0001	0.0000
5	0.4956	0.3669	0.2485	0.1503	0.0781	0.0328	0.0099	0.0016	0.0001
6	0.7340	0.6177	0.4862	0.3504	0.2241	0.1209	0.0500	0.0128	0.0010
7	0.9004	0.8327	0.7384	0.6172	0.4744	0.3222	0.1798	0.0702	0.0115
8	0.9767	0.9536	0.9140	0.8507	0.7560	0.6242	0.4557	0.2639	0.0861
9	0.9975	0.9940	0.9865	0.9718	0.9437	0.8926	0.8031	0.6513	0.4013
10	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

Cómo usar estas tablas

Antes de consultar un valor, identifica los tres datos del problema: el número de ensayos n, la probabilidad de éxito p en cada ensayo y el número de éxitos k.

Elige n en el desplegable «n (ensayos)». La tabla se actualizará y mostrará las filas desde k = 0 hasta k = n.
Selecciona la pestaña adecuada: usa P(X = k) para la probabilidad de exactamente k éxitos o P(X ≤ k) para la probabilidad de obtener como máximo k éxitos.
Escoge el rango de p con los botones p ≤ 0.50 o p > 0.50 y localiza la columna correspondiente a la probabilidad de éxito.
Busca la fila k. La intersección de esa fila con la columna p es la probabilidad solicitada; también puedes hacer clic en la celda para verla identificada.
Combina valores si es necesario: para P(X > k), resta la acumulada de 1; para un intervalo P(a ≤ X ≤ b), resta P(X ≤ a − 1) de P(X ≤ b).

Ejemplo: si se realizan 10 ensayos con p = 0.30 y se quiere la probabilidad de exactamente 4 éxitos, elige n = 10, abre P(X = k) y cruza la fila k = 4 con la columna p = 0.30.

Distribución Binomial

Un experimento binomial consiste en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito. El número de éxitos X sigue una distribución B(n, p) con función de masa:

\( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n \)

La media es μ = np y la varianza σ² = np(1 − p).

Propiedades útiles

Simetría: P(X = k; n, p) = P(X = n − k; n, 1 − p). Usa esto para p > 0.5 mirando la columna equivalente con p' = 1 − p.
Complemento: P(X > k) = 1 − P(X ≤ k).
Intervalo: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).
Para n grande y p pequeño, la binomial se aproxima a una Poisson con λ = np.
Para n grande, la binomial se aproxima a una Normal N(np, np(1−p)).

Tablas y calculadoras relacionadas

Preguntas frecuentes

¿Cómo se usa la tabla de la distribución binomial? Fija n y p; la fila es el número de éxitos k. Cada celda da P(X = k) o la acumulada P(X ≤ k) según la pestaña seleccionada.
¿Qué diferencia hay entre P(X = k) y P(X ≤ k)? P(X = k) es la probabilidad de exactamente k éxitos; P(X ≤ k) es la acumulada, la suma de las probabilidades desde 0 hasta k.
¿Cuándo aproximar la tabla binomial por la normal o la de Poisson? Con n grande y p moderado, la binomial se aproxima por la tabla normal; con n grande y p pequeño (λ = n·p moderado), por la de Poisson.